拓 撲 學(xué) 奇 趣

　　　　時(shí)間:2011-7-18 　　　　點(diǎn)擊率:106907

拓 撲 學(xué) 奇 趣

    一、 什么是拓?fù)?/strong>學(xué)
    　拓?fù)鋵W(xué)(Topology)是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)中迅速蓬勃發(fā)展的一門數(shù)學(xué)分支，其中拓?fù)渥儞Q在許多領(lǐng)域均有其用途。直至今日，從拓?fù)?/strong>學(xué)所衍生出來的知識已和近世代數(shù)、分析共同成為數(shù)學(xué)理論的三大支柱。
    　拓?fù)鋵W(xué)的最簡單觀念產(chǎn)生于對周圍世界的直接觀察。直觀的說，關(guān)于圖形的幾何性質(zhì)探討，不限于它們的“度量”性質(zhì)(長度、角度等等)方面的知識。拓?fù)鋵W(xué)探討各種幾何形體的性質(zhì)，但是其內(nèi)容卻與幾何學(xué)的范疇不盡相同，多數(shù)的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關(guān)的性質(zhì)上。例如，曲線(繩子、電線、分子鏈…)不論有多長，，它可以是閉合或不是閉合的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很復(fù)雜的。兩條以上的閉曲線可以互相套起來，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破壞孔洞下，它們允許做任意的伸縮及變形。這種變形不會(huì)減少或增加孔動(dòng)數(shù)量，就叫做它的“拓?fù)湫再|(zhì)”。一個(gè)橡皮圈，在它的彈性限度內(nèi)，任憑我們把它拉長、扭轉(zhuǎn)，只要不把它弄斷，那么它永遠(yuǎn)是一個(gè)圈圈。拉長使它的長度改變了，扭轉(zhuǎn)使它的形狀改變了，然而在拓?fù)?/strong>學(xué)上不會(huì)理會(huì)這些，只是專注在“它永遠(yuǎn)有一個(gè)圈圈”上。
    A. 拓?fù)?/strong>同胚與等價(jià)性質(zhì)
   　 拓?fù)鋵W(xué)只探討各種幾何形體的內(nèi)稟特質(zhì)。一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)，經(jīng)由一拓?fù)渥儞Q作用后維持不變，該性質(zhì)稱為圖形的拓?fù)湫再|(zhì)。下面兩組圖形從拓?fù)渥儞Q角度來看，它們分別是“等價(jià)”的。任何三角形、方形、圓形及橢圓的內(nèi)稟特質(zhì)，從拓?fù)?/strong>學(xué)的立場看來，它們都沒有任何區(qū)別。然而，在初等幾何學(xué)中，這些圖形的形狀、面積、周長等都是不相同的。
   　 如果我們把一個(gè)橡皮制的物體X任意的扭轉(zhuǎn)、拉長，但不可把它撕開或斷，而得到另一形狀的物體Y，我們稱這兩個(gè)物體X和Y在拓?fù)渖鲜且环N“同胚”或“等價(jià)”的結(jié)構(gòu)。廣義的來說，在一個(gè)物體到另一個(gè)物體的對應(yīng)關(guān)系，如果它是不間斷，又不重復(fù)，則在拓?fù)渖戏Q這個(gè)關(guān)系在兩物體間建立一個(gè)“同胚”變換。兩個(gè)物體間如果存在有這種關(guān)系，則稱它們?yōu)?ldquo;拓?fù)?/strong>同胚”。
   　 例如，任意一個(gè)三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以迭合住一個(gè)圓形。所以這個(gè)延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓?fù)?/strong>上被視為是同胚或等價(jià)的。
    　拓?fù)鋵W(xué)就是探討同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)之一門學(xué)科。網(wǎng)絡(luò)、歐拉定理、曲面、向量場、四色問題、結(jié)、覆蓋等，都是拓?fù)?/strong>學(xué)研究的重要課題。
    B. 不可思議的拓?fù)?/strong>變換
   　 法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré, 1854〜1912)以他豐富的想象力及抽象的思維能力，提出圖1中的兩個(gè)物體是等價(jià)(同胚)的，也就是說，您可以從其中一個(gè)開始，經(jīng)由拓?fù)?/strong>變換得出另一個(gè)，您認(rèn)為可能嗎？