本文關鍵詞：倒向隨機微分方程在經(jīng)濟金融優(yōu)化問題中的應用　出處：《山東大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：本論文研究的是倒向隨機微分方程(BSDEs)在經(jīng)濟和金融相關優(yōu)化問題中的應用。我們知道倒向隨機微分方程理論是由Pardoux和Peng在論文[62]建立的。從起源上看,研究引入倒向隨機微分方程的主要目的就是為了解決隨機控制問題,也就是研究隨機最大值原理。因此在此之后有許多與倒向隨機微分方程有關的隨機控制理論方面的研究,在這些研究當中,隨機最大值原理總是主要的技術方面的研究控制問題工具。許多的研究及其成果還擴展到其他的領域,例如經(jīng)濟和金融,這使得倒向隨機微分方程理論成為跨學科的成果,在經(jīng)濟和金融領域里許多優(yōu)化問題會應用倒向隨機微分方程來解決。本論文解決了三個分別覆蓋微觀經(jīng)濟學,宏觀經(jīng)濟學和行為金融學領域的熱點問題。本文中第一個微觀經(jīng)濟學問題是一個關于長期委托人-代理人問題(principal-agent問題,簡稱PA問題)或者稱是長期契約問題(contracting problem)。這個問題中,契約雙方對項目質量,或是代理人質量(如能力等)具有對稱不確定性(即項目中的有關質量參數(shù)是未知的),并且代理人有隱藏行動(hidden action)。此外,我們還假設代理人對新息(innovation)布朗運動的分布不確定。也就是說,給定新息后(學習后),代理人對項目的產(chǎn)出或是現(xiàn)金流分布不確定。因此我們第一個問題是解決一個風險中性委托人如何設計一個合同,使自己的效用(即利潤)最大化,并且設計最優(yōu)合同是受同時具有風險厭惡和模糊厭惡的代理人動機(incentive)約束。在歷史上,Holmstrom和Milgrom[38]第一個在連續(xù)時間框架下解決隱藏行動問題,或者我們稱為道德風險(moral hazard)問題。Sannikov[70]在給代理人的酬勞按連續(xù)時間率支付的假設下給出了一種解決道德風險問題的易處理方式(tractable way)。這個假設普遍用于在隨后至今的連續(xù)時間模型中。Prat和Jovanovic[68]以及He et al[37]分別研究需要雙方學習項目中未知代理人能力的契約問題。Prat和Jovanovic[68]研究的是非穩(wěn)定學習,而He et al[37]聚焦于穩(wěn)定學習情況。Miao和Rivera[61]研究了一個穩(wěn)健合同(robust contract)情況,然而他們關注的是委托人面對模糊的情況,而不是代理人。相反的,我們認為由于作為專業(yè)管理人員的代理人對環(huán)境具有更多的經(jīng)驗和知識,他更清楚明白自己所面臨的復雜環(huán)境,因此是代理人能意識到模糊性。并且,我們采用的是Chen-epstein[9]方法來處理模糊性。所以,我們的模型同時考慮關于項目質量的學習以及模糊的情況,這使我們考慮的問題更加符合復雜現(xiàn)實的世界。在這個契約問題中關鍵難點是怎樣給出合同滿足動機相容(incentive compatible contract,簡稱IC)條件的必要條件。合同的動機相容性實質上是代理人控制問題。我們能證明本質上我們可以把這個得到必要條件的問題等價于解一個比倒向隨機微分方程系統(tǒng)更加復雜的正倒向隨機微分方程(FBSDEs)的隨機控制問題。詳細的說,我們需要用Cvitanic和Zhang[15]中介紹的最大值原理來解決正倒向隨機微分方程控制問題。但是我們在模糊下的動態(tài)合約模型誘導出的正倒向隨機微分方程是非光滑的：倒向方程的漂移項關于狀態(tài)變量不是連續(xù)可微的。連續(xù)可微條件是隨機最大值原理證明過程中所用的變分法所必須的,因為第一步是對狀態(tài)變量進行微分。因此此問題中我們數(shù)學上的技術貢獻是通過使用非光滑分析中的廣義導數(shù)方法,解決了上述難題,并得到了代理人問題的一階必要條件。我們用兩個分別包含一個信息租金(information rent)集合中的上界和下界的方程來表示這個必要條件,而經(jīng)典正倒向隨機微分方程控制問題的結果中只有一個方程。正是由于模糊使我們得到一個信息租金集合,因為模糊下我們會得到一族關于代理人連續(xù)價值的最壞情況概率(worst-case beliefs)。經(jīng)濟上來說我們的必要條件是按照一種穩(wěn)健形式(robust form)展示的。更重要的是,在把必要條件作為求解最終委托人最優(yōu)合同問題的控制限制后,我們能夠用動態(tài)規(guī)劃方法得到一個HJB方程。并且我們能夠解出這個HJB方程,即一個偏微分方程(PDE)的顯式解,這也同時意味著我們能夠得到最優(yōu)合同的具體數(shù)學形式。所以我們最后能夠很方便的詳細分析合同內容并且得到了很多重要的經(jīng)濟意義和結果。第一個問題的研究成果是我在美國波士頓大學經(jīng)濟系為期一年的訪問學者期間完成的。合作作者是來自波士頓大學的苗建軍教授和來自山東大學的嵇少林教授：Dynamic Contracts with Learning under Ambiguity, with Shaolin Ji and Jianjun Miao, Boston University working paper.第二個宏觀經(jīng)濟學問題是關于在連續(xù)時間框架下如何實施帶零利率下界限制的有承諾的(under commitment)最優(yōu)貨幣政策。在名義利率上實施的零利率下界限制在解決流動性陷阱問題時是非常常用的,最現(xiàn)實的例子就是美國自2008年經(jīng)濟危機后至今所面臨的流動性陷阱情況。自那場危機以后,美國聯(lián)邦儲備委員會(美國央行)將名義利率迅速降到零利率附近以緩和經(jīng)濟衰退,并將零利率保持至今(直到2015年第四季度才宣布加息25個基準點)。結果是,名義利率在零點附近而不能繼續(xù)下降,因此以利率為調控手段的貨幣政策失效。我們用新凱恩斯模型來研究隨機連續(xù)時間框架下的最優(yōu)貨幣政策。歷史上,新凱恩斯模型來自于Eggertsson和Woodford [19], Woodford [78]以及Gali[26]所建立的離散時間公式。Clarida, Gali和Gerlter[11]從不帶零利率下界的離散時間模型來研究新凱恩斯主義下的最優(yōu)貨幣政策。Adam和M. Billi[1]在離散時間框架下研究帶零利率下界的具有承諾性的最優(yōu)貨幣政策。Ivan Werning[75]研究了在流動性陷阱中帶零利率下界的連續(xù)時間框架下的最優(yōu)貨幣政策問題,但是他構建的是確定性模型。我們研究的問題中經(jīng)濟模型被轉化成了解決無窮時間區(qū)間下倒向隨機微分方程的控制問題。Shi和Peng[66]研究了無窮時間區(qū)間的正倒向隨機微分方程,Haadem和Oksendal[30]研究了無窮時間區(qū)間下的最大值原理,但是這些方程中的參數(shù)條件都過于嚴格,不適用于我們的模型。所以在解決此問題中我們的技術貢獻是：(1)我們研究了無窮時間區(qū)間下在我們構造的最優(yōu)貨幣政策模型中倒向隨機微分方程解的存在性。其中關鍵點就在于如何構造方程相應終端條件(transversality condition)以保證可行控制集合是非空的,否則的話這個控制問題就是無意義的(ill-posed);(2)我們得到了最優(yōu)解的必要條件,即得到了相應的伴隨方程和無窮時間框架下此控制問題最優(yōu)解滿足的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian);(3)我們還給出了極限條件來保證無窮時間下的控制問題中的必要條件也是充分條件。因此我們可以分析最終得出的充要條件,從而得出相應的關于最優(yōu)貨幣政策的經(jīng)濟暗示。這一部分的工作來自于我和山東大學嵇少林教授的工作論文：Proposal on optimal monetary policy under commitment with zero lower bound in continuous setting, with Shaolin Ji.第三個行為金融問題是關于解決一個g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇問題。在此問題中,投資者的效用函數(shù)滿足Inada條件。我們的模型是基于以前的Jin和zhou[46]的研究,但是我們在這里用的是g-期望,一種非線性期望來代替他們文章中的非線性概率扭曲。這種非線性期望可以刻畫類似于第一章中代理人所面臨的模糊情況。具體到模型上來說,我們用由Peng[64]引入的g-期望來代替Jin和zhou [46]中用的Choquet期望。此外,我們用了不同的S型效用函數(shù)和g-函數(shù)來分別構造表示投資者對待損失和盈利所不同的不確定性態(tài)度。從控制論的角度上講,我們建模的行為金融問題是倒向隨機微分方程的終端變量為控制變量,在一個成本函數(shù)約束下的最大化倒向隨機微分方程零時刻解的控制問題。為了解決這個與倒向隨機微分方程有關的控制問題,我們用Ji和Peng[42]以及Ji和Zhou[43,44]介紹的終端攝動方法。然而,在我們模型中用這個方法來得到控制問題的最優(yōu)解的必要條件會遇到一些技術性難題。因為我們的效用函數(shù)在Inda條件假設下在零點的一階導數(shù)是正無窮。因此,相應的終端攝動方法過程中的可積性和收斂性結果就不存在了。因此在解決這個問題中我們的技術貢獻是我們沒有直接用終端攝動方法,而是用反證法解決處理了這些技術性難題。我們找到一個反例,在這個反例中我們構造一種特殊變差來得到終端攝動方法中的可積性和收斂性結果。并且,我們還給出了相應的充分性條件,來方便我們隨后從金融投資的角度來分析結果。這部分工作主要來自于我的發(fā)表論文：The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation, Abstract and Applied Analysis, Vol.2014, Article ID 426036.以及和來自牛津大學Jin Hanqing教授,來自山東大學的嵇少林教授合作的工作論文：The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation and Utility Function with Inada Condition, with Hanqing Jin and Shaolin Ji.以上是對本論文中涉及的三個經(jīng)濟和金融方面優(yōu)化問題的簡要介紹。本論文包括三個章節(jié)來分別詳細研究這三個問題。下面,我們將簡要的展示每一個問題中重要的數(shù)學結果并介紹每一章結構：第一章：模糊下帶學習的動態(tài)合同第一章第二節(jié)構造了模型。本章主要的技術突破和貢獻是我們在第三節(jié)給出了正倒為了使這個方程滿足Lipschitz條件,我們對其進行Girsanov變換,得到：代理人的問題等價于下面的控制問題：這里隨機過程控制集合A={a:[0,T]×Ω→[0,1]}是{FtY}-可料的。我們可以看見這里面有一個絕對值項|Zta|,它對Zta不可導。一個合同是動機相容(即代理人問題最優(yōu)解)的必要條件是：定理0.0.1.在一些證明中的技術假設下,如果合同c=(a,w,WT)是動機相容的,那么(a,,γc)滿足這里(vc,γc)是如下倒向隨機微分方程的解終端限制為vT=U(WT)。此方程與合同c聯(lián)系,pt=maxPt∈Pcpt,pt=minPt∈Pcpt,其中Qa,bc*是某個對于vc來說的最壞情況測度,這個測度由密度生成元bc*∈Bc生成,Bc是最壞情況密度生成元集合,i.e.具體的定理中的式子和符號的意義和解釋將會在第一章中詳細給出。這里給定合同c我們給出了集合Pc,它的元素是信息租金pt。之所以會出現(xiàn)一個集合Pc是由于模糊下我們會得到一個最壞情況密度生成元集合Bc,因此相應的就會有一個最壞情況概率Qa,bc*的集合,而每一個pt是定義在不同最壞情況概率下的。因此若像Prat和Jovanovic[68]里那樣沒有模糊時,則只會出現(xiàn)一個信息租金,因為給定每個合同只會存在一個概率測度。進一步的,我們還在第三節(jié)中給出了合同是動機相容的充分條件：定理0.0.2.一個合同c=(a,ω,WT),如果存在一個pt∈Pc使得對t∈[0,T]成立,其中ζ是如下定義的可料過程其中(Bta,bc*)是在由對應于pt的密度生成元bc*∈Bc生成的最壞情況測度Qa,bc*下的布朗運動。那么這個合同是動機相容的。在第四節(jié),我們把第三節(jié)得到的必要條件當作了委托人的最優(yōu)控制問題的控制限制,在此控制問題里委托人要設計出最大化他的利潤的合同。因此我們把解的過程分成兩步。第一步是假設努力恒不為零時(沒有偷懶,no shirking effort),求解必要條件限制下委托人控制問題。這些努力始終為正的合同稱為動機合同(incentive contracts),意思是委托人提供動機使得代理人不會偷懶。在第二步,我們給出了最優(yōu)合同結果。需要注意的是在解第一步控制問題時我們將必要條件作為控制實際上擴大了動機相容合同的范圍,因為我們沒有考慮動機相容的充分條件。而委托人問題的控制集合是動機相容合同。因此在解得最優(yōu)動機合同后,我們還需要確定這個合同確實是動機相容的。我們可以說明解最優(yōu)動機合同實質上是解出如下HJB方程：受限于以及并且我們還能夠解出以上這個偏微分方程的顯示解,并且這個解構成了最優(yōu)動機合同的內容：定理0.0.3.假設(i)質量η是未知的并且代理人對產(chǎn)出過程的均值是模糊厭惡的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中給定,(iii)任意建議的努力水平滿足at0對所有t≥0成立。那么無窮時間極限T→∞的最優(yōu)動機合同建議了最理想(first-best)努力水平at*=1。委托人的值函數(shù)如下給出這里函數(shù)f(t)如下表示并且kt是如下二次方程的正根,委托人給代理人最開始的效用值給定為v0,然后代理人的連續(xù)價值(continuation value)過程vt滿足工資如下給定在第四節(jié)的最后,我們給出了第一章最重要的結果：定理0.0.4.假設(i)質量η是未知的并且代理人對產(chǎn)出過程的均值是模糊厭惡的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中給定。讓F=1-λ+ln(K/ρ)/α+1/2ρα(λσK)2。(a)如果F0,那么存在一個唯一的閾值h0。繼續(xù)假設若其中那么如果h0h,存在一個時刻τ0使得h(τ)=h并且無窮時間極限最優(yōu)合同建議a*使得在t∈[0,τ)有at*=0,以及在t≥τ有at*=1。委托人給代理人最開始的效用值給定為v0,工資為代理人的連續(xù)價值vt在t∈[0,τ)時刻滿足vt=v0,并且在t≥丁滿足初始為vτ=v0的隨機微分方程(3)。委托人的價值函數(shù)J*給定為若h0≥h,ht≥h對于所有正的時刻t都成立,那么最優(yōu)合同即完全是定理0.0.2給出的最優(yōu)動機合同。(b)如果F≤0,那么最優(yōu)合同使得努力在t≥0時恒有at*=0,并且最優(yōu)工資,代理人的連續(xù)價值以及委托人的價值函數(shù)在t≥0如下給定閾值h0的具體取值將在定理證明中給出。在第五節(jié),我們詳細分析了最優(yōu)合同,解釋了模糊對最優(yōu)合同的影響以及風險與模糊的不同。在第六節(jié),我們比較了我們所用的研究模糊的方法與其他模糊方法的不同。第二章：連續(xù)時間框架下有零利率下界時對承諾性最優(yōu)貨幣政策的建議本章第二節(jié)建立了模型。這個表示宏觀經(jīng)濟優(yōu)化問題的控制問題為：受限于如下無窮時間區(qū)間下的倒向隨機微分方程：這里可行控制集合A(π,x,i)(?){(πt,xt,it)0≤t∞:(πt,xt,it)滿足倒向隨機微分方程(5),it≥0,E(∫0∞e-ρt[λπt2+xt2]dt)∞}。我們這個問題中的技術貢獻和突破是我們在第三節(jié)給出了最優(yōu)解的充分必要條件。首先我們給出控制問題相應的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian)H:R6→R為：這里(pπ(·),px(·))是相對于狀態(tài)變量對(π(t),x(t))的一階狀態(tài)伴隨方程,并且滿足一個隨機微分方程：我們給出的必要條件是：定理0.0.5.讓(π*(t),x*(t),i*(t))∈A(π,x,i)是此控制問題的最優(yōu)解組。(pπ(·),px(·))是來自最優(yōu)解組相應的一階伴隨隨機微分方程(6)的解。那么我們有：由方程(7),我們能得到：接下來充分條件是：定理0.0.6.讓一組(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞滿足方程(5)并且屬于A(π,x,i)。接著我們給出下面的伴隨方程:假設對于任意(πt,xt,it)∈A(π,x,i)有漢密爾頓函數(shù)為如果Hi(t,π*(t),x*(t),i*(t),px(t),pπ(t))×(i-i*(t))≥0,(?)t≥0,(?)i≥0,那么我們有這組(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞是此控制問題的最優(yōu)解。我們可以看到在相應條件下,方程(8)是充分必要條件。因此在第三節(jié)后面部分,我們解釋所得方程結果并提出了關于最優(yōu)貨幣政策的建議。在第四節(jié),我們同時考慮了承諾貨幣政策與財政政策的共同作用,并給出此情景下的政府的最優(yōu)支出。第三章：在效用函數(shù)滿足Inada條件的g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇模型在第三章第二節(jié),我們給出了詳細的行為金融問題并且建立了相應的數(shù)學模型。我們將終端財富分成兩部分：正收益的部分和負收益的部分來考慮,并且分別評價這兩部分終端財富。我們分別用符號u+(X+)和u-(X-)來表示收益和損失的效用,用V+(X+)和V-(X-)來表示收益和損失的值函數(shù),這兩個值函數(shù)用下面兩個g-期望定義：V+(x+)=εg1[u+(X+)]=x1(0),V_(X-)=εg2[u-(X-)]=x2(0)。這兩個g-期望對應于下面兩個倒向隨機微分方程的零時刻解：在g-期望決定規(guī)則下此問題如下表示：這里G0,T[X]是如下驅動函數(shù)生成元為g0以及終端隨機變量為X的倒向隨機微分方程的解G0,T[X]實際上是一個成本限制。在第三節(jié),我們給出了與原問題相關的三個子問題。對給定的任意參數(shù)對(x+,A),下面三個子問題是：子問題1：子問題2：我們將子問題(13)和子問題(14)的極值解寫作：V+(x+,A),V-(x+,A)。子問題3：那么我們給出如下定理：定理0.0.7.讓g0關于狀態(tài)變量(x,z)是線性的。給定X*,我們定義A*=(w：X*≥0)和x+*=G0,T[(X*)+]。那么X*是問題(11)的最優(yōu)解當且僅當(x+*,A*)是問題(15)的最優(yōu)解,并且(X*)+和(X*)-各自是問題(13)和(14)關于參數(shù)(x+*,A*)的最優(yōu)解。第四節(jié)分別處理了每個子問題并且給出了最優(yōu)解。我們研究此問題中主要的技術貢獻是當我們研究的效用函數(shù)滿足u+’(0+)=u-’(0+)=∞時,我們給出了每個子問題最優(yōu)解的必要條件：定理0.0.8.對任意給定的參數(shù)(x+,A),這里x+≥x0,如果X*是關于此參數(shù)的問題(13)的最優(yōu)解,那么X*有如下的形式：這里A’是A的子集。m(t),n1(t)各自是如下隨機微分方程的解：這里h010,h110,并且|h01|2+|h11|2=1。函數(shù)gx0,gz0,gx1,gz1各自是g0,91關于x和z的導數(shù),(x0*(t),z0*(t))以及(X1*(t),z1*(t))各自是倒向隨機微分方程(12)和(10)關于終端隨機變量X*和u+(X*)的解。定理0.0.9.對于任意給定參數(shù)(x+,A),這里x+≥x0,如果X*是關于此參數(shù)的問題(14)的最優(yōu)解,那么X*有如下的形式：這里h120,h020并且|h02|2+|h12|2=1。Ac是Ac的子集。(x0*(t),z0*(t))以及(x2*(t),z2*(t))各自是倒向隨機微分方程(12)和(10)關于終端隨機變量X*和u-(X*)的解。m(t),n2(t)各然后我們更進一步的分析了最優(yōu)解的形式并且給出了最優(yōu)解充分條件：定理0.0.10.對于任意給定(x+,A),讓g0是一個凸函數(shù)并且g1是一個凹函數(shù)。如果有兩個常數(shù)h010,h110以及一個滿足問題(13)的限制條件的并且在集合A上嚴格正的終端變量X*使得在A上有其中n1(T),m(T)如上定義,那么X*是問題(13)的最優(yōu)解。在這一節(jié)的最后,我們給出了解決原始問題(11)的方法。第五節(jié)將我們的模型與Jin和Zhou[46]的模型進行了比較,并且從金融的角度解釋了我們的結果。第六節(jié)和第七節(jié)給出了一個具體的實例并用第四節(jié)的方法進行了求解。
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【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O211.63;F830

【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 ;The Maximum Principle for One Kind of Stochastic Optimization Problem and Application in Dynamic Measure of Risk[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2007年12期

2 ;The Maximum Principle for Fully Coupled Forward-backward Stochastic Control System[J];自動化學報;2006年02期

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本文編號：1370308