眾所周知,微分方程邊值問題一直是微分方程研究領域中的重要內容,這方面有著十分豐富的研究成果,見文獻[2,11,23,28,39,46,57,63,76].這類問題解的存在性及唯一性作為研究的一個基本問題,引起了許多數學研究者的興趣.隨著研究的深入,人們不斷發(fā)展完善和建立開拓了多種研究方法,獲得許多深刻的研究結果,見文獻[12,41,62,87,88,89,90,93].本文主要利用Schauder不動點定理、非線性泛函分析等方法,研究了幾類具有周期積分邊值條件的非線性微分方程解的存在性和唯一性.第一部分我們給出本文的第一個主要結果,考慮二階微分方程周期積分邊值問題x"=f(t,x,x'),(0)=x(2π),(0.0.1)∫_0~(2π)x(s)ds=0,其中f:[0,2π]× R2→R是連續(xù)的.我們將給出解存在的兩個充分條件.假設:(A1)存在兩個連續(xù)函數a(t)和b(t),以及一個非負常數M1,使得對于任意的x,|x|≥M1,以及(t,y)∈[0,2π]× R,有0≤a(t)≤f(t,x,y)/x≤b(t).(A2)存在兩個非負常數M2和M3,使得對于任意的(t,x)∈[0,2π]×R和|y|≥M3,滿足|f(t,x,y)/y|≤M2定理0.0.1若f滿足假設條件(A1)和(A2),則周期積分邊值問題(0.0.1)至少存在一個解.當f可微時,我們也可以給出解存在且唯一的充分條件.假設:(A3)存在兩個連續(xù)函數α(t)和β(t),使得對于任意的(t,x,y)∈[0,2π]×R2,有0≤α(t)≤fx(t,x,y)≤β(t).(A4)存在正數M,使得對于所有的t ∈[0,2π]和(x,y)∈ R2,有|fy(t,x,y)≤M.定理0.0.2若f滿足假設(A3)和(A4)條件,則周期積分邊值問題(0.0.1)有唯一解.在這部分最后給出兩個具體實例,說明所得結果的有效性.本文第二部分將討論高階微分方程周期積分邊值問題解的存在唯一性.考慮n階周期積分邊值問題x(n)=f(t,x,x',...,x(n-1)),其中f:[0,2π]×Rn—→R是連續(xù)函數.我們假設:(H1)存在兩個非負連續(xù)函數b(t)和c(t),b(t)(?)0,當|xn-2|≥a0時,b(t)≤f(t,x0,x1,..,xn-1)/xn-2≤c(t).對于任意(t,x0,x1,...,xn-3,xn-1)∈[0,27π]× Rn-1.這里a0是一個正常數.(H2)存在兩個非負常數a1和cn-1,使得對于任意的(t,x0,x1,...,xn-2)∈[0,27π]× Rn-1,當 |xn-1|≥a1時,有|f(t,x0,x1,...,xn-1)/xn-1|≤cn-1,(H3)函數f滿足,對所有(t,x0,x1,...,xn-1)∈[0,2π]×Rn-2 ×[-a0,a0]×[-a1,a1],f(t,x0,x1,...,xn-1)|≤M,其中M是正常數.定理0.0.3假設(H1),(H2)和(H3)成立,則周期積分邊值問題(0.0.1)至少存在一個解.為了獲得解的唯一性,我們考慮周期積分邊值問題x(n)=an-1(t)x(n-1)+an-2(t)x(n-2)+h(t,x,x',...,x(n-1),假設:(H4)h是定義在[0,27π]× Rn上的連續(xù)有界函數,an-1(t)和an-2(t)是[0,2π]上的連續(xù)有界函數,且an-2(t)≥0,an-2(t)(?)0.(H5)f是定義在[0,2π]× Rn上的連續(xù)函數,f(t,x0,x1,...,xn-1)關于xn-2和xn-1存在連續(xù)偏導數,并且存在非負常數λ0,使得|f(t,x0,x1,...,xn-3,0,0)|≤λ0,其中(t,x0,x1,...,xn-3)∈[0,2π]×Rn-2.(H6)存在非負常數λ1,λ2,λ3,使得|fx(n-1)|≤λ3,λ1≤|fx(n-2|≤λ2在[0,2π]×Rn上成立.定理0.0.4假設(H4)成立,則周期積分邊值問題(0.0.3)存在唯一解.定理0.0.5假設(H5),(H6)成立,則周期積分邊值問題(0.0.2)存在唯一解.本文第三部分,考慮奇數階周期積分邊值問題其中αk,k=0,1,2,...,n-1,是常數.f:[0,2π]×R—→R是連續(xù)函數.假設下列條件成立:(S1)f是連續(xù)函數,關于x存在連續(xù)偏導數,并且存在常數β,γ0,使得β≥|fx(t,x)|≥γ,(?)(t,x)∈[0,2π]×R.(S2)f是連續(xù)函數,存在常數M*0和β,γ0使得,當t ∈[0,2π]且|x|≥M*時β≥|f(t,x)/x|≥γ定理0.0.6假設(S1)成立,則問題(0.0.4)存在唯一解.定理0.0.7假設(S2)成立,則問題(0.0.4)至少存在一個解.我們也可以討論向量微分方程的周期積分邊值問題,其中函數 X:[0,2π]—→Rm,F:[0,2π]×Rm—→Rm,αk,k=0,1,2,...,n-1,是常數.定理0.0.8假設F是連續(xù)向量函數,FX是F關于X的連續(xù)Jacobi矩陣,存在常數β,γ0,滿足β‖U‖2≤U,FX(T,X)U≤-γ‖U‖2,(?)U ∈ Rm\{0}.對于任意t ∈[0,2π],X ∈ Rm成立;或者-β‖U‖2≤U,FX(t,X)U≤-γ‖U‖2,(?)U ∈ Rm\{0}.對于任意t ∈[0,2π],X ∈Rm成立,則周期積分邊值問題(0.0.5)存在唯一的向量值解.
【學位單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O175.8
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 問題和背景概述
    1.2 周期積分邊值條件和本文主要方法
    1.3 預備知識
    1.4 本文主要工作
第二章 二階微分方程周期積分邊值問題解的存在唯一性
    2.1 引言
    2.2 主要結果1
    2.3 主要結果2
    2.4 應用舉例
第三章 高階微分方程積分邊值問題解的存在唯一性
    3.1 引言和主要結果
    3.2 高階線性周期積分邊值問題
    3.3 定理3.1.2的證明
    3.4 定理3.1.1的證明
第四章 奇數階微分方程的周期積分邊值問題
    4.1 引言和主要結果
    4.2 奇數階線性周期積分邊值問題
    4.3 主要結果的證明
結論
參考文獻
作者簡介及在學期間所取得的科研成果
后記和致謝

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本文編號：2871359