有限體積法(FVM)是一種重要的求解偏微分方程的數(shù)值離散方法.由于其能夠保持物理量局部積分的守恒性,該方法在流體力學(xué)、地質(zhì)學(xué)等領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用.本文主要研究一維三次元以及二維雙三次元有限體積法的收斂性規(guī)律,從理論(一維)和數(shù)值實驗(一維和二維)上,給出了當(dāng)對偶剖分滿足對稱性變化時,相應(yīng)格式按L2模的收斂階及超收斂的結(jié)果.首先,考慮兩點邊值問題:其中 I =[a,b],p ∈ C1(I),pmax ≥ p(x)≥pmin0,f ∈ L2(I).對區(qū)間I =[a,b]作剖分Tb,節(jié)點取為a = x0x1……xn,=b,[xi-1,xi]為任一單元(i= 1,2,…,n).試探函數(shù)空間Uh為相應(yīng)于Th的Lagrange型三次元有限元空間.相應(yīng)的計算節(jié)點(即Lagrange插值節(jié)點)取為每個單元的三等分點(含端點),記作 xi-k/3(k= 1,2).相應(yīng)于Th的對偶剖分Th*,其節(jié)點取為a =x0xa*x1/2*x1-α*x1……xixi-α*xi+1/2*xi-1……xn=b.其中xi+α*=α(xi+1-xi)+xi,xi+1-α*=(1-α)(xi+1-xi)+ xi,xi+1/2*=1/2(xi+1xi),i=1,2,…,n.且0α1/3為用于調(diào)節(jié)對偶剖分位置的參數(shù).檢驗函數(shù)空間Vh為相應(yīng)于Th*的分片常數(shù)函數(shù)空間.與試探函數(shù)空間Uh的計算節(jié)點xj,xj-1/3,xj-2/3,(j=1,…,n)相應(yīng)的對偶單元分別為「xj-α*,xj+α*」,「xj-1/2*,xj-α*」,「xj-1+α*,xj-1/2*」.一維三次元有限體積法格式為:求uh∈Uh,使得ah(uh,vh)=(f,vh),(?)vh∈ Vh......(1.2)相應(yīng)的單元形式為其中Φj(x),Φj-1/3(x),Φj-2/3(x)為與xj,xj-1/3,xj-2/3相應(yīng)對偶單元上的特征函數(shù),{Φj(x),Φj-1/3(x),Φj-2/3(x):1 ≤j≤n為檢驗函數(shù)空間Vh的一組基底.定義П*為Uh到Vh的投影算子(詳細定義見2.3節(jié)),則(1.2)式等價于αh(uh,Пhuh)=(f,]Пh*,uh),(?)uh∈Uh,進而我們得到了格式的穩(wěn)定性及H1誤差估計.定理1(穩(wěn)定性)當(dāng) 0α1、3且h充分小時,離散雙線性形式ah(uh,Пh*uh)是正定的,即存在與子空間Uh無關(guān)的常數(shù)γ0,使得ah(uh,Пh*uh)≥γ‖uh‖12(?)uh ∈ Uh.定理2(H1誤差估計)設(shè)問題(1.1)的解u∈H4(I),uh是三次元有限體積格式的解,則0α1/3且h充分小時有如下誤差估計:‖u-uh‖≤Ch3|u|4.我們擴展了正交性條件[13]在一維的限制,并證明了所有具有對稱對偶結(jié)構(gòu)的一維三次有限體積格式均有最佳的按L2模收斂階.定理3(L2誤差估計)設(shè)問題(1.1)的解u∈HE1(I)∩H5(I),uh是三次元有限體積格式的解,則當(dāng)0α1/3且h充分小時有如下誤差估計:‖u-uh‖0≤Ch4 |u|5.我們通過數(shù)值實驗,驗證了上述收斂性結(jié)果.同時獲得了如下超收斂的結(jié)論.結(jié)論1:在均勻的網(wǎng)格剖分Th上,對偶剖分隨α對稱性變化時,單元端點及中點處(不含邊界單元)數(shù)值解導(dǎo)數(shù)的平均值與精確解導(dǎo)數(shù)有如下超收斂結(jié)果.結(jié)論2:在均勻的網(wǎng)格剖分Th上,整體超逼近性質(zhì)僅在對偶剖分節(jié)點取為應(yīng)力佳點時成立,即‖uI-uh‖=O(h4).其中uI為u的分片三次Lagrange插值.再考慮二維Poisson方程:其中 Ω={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},αΩ為Ω的邊界.Th為Ω上的均勻矩形網(wǎng)格剖分,試探函數(shù)空間Uh為相應(yīng)于Th的Lagrange型雙三次元有限元空間.對于每個矩形單元,將每條邊如一維情形按α進行剖分,連結(jié)對邊上的對偶剖分節(jié)點,我們得到了每個矩形單元內(nèi)的對偶剖分.即與Th相應(yīng)的對偶剖分Th*,檢驗函數(shù)空間Vh為相應(yīng)于Th*的分片常數(shù)函數(shù)空間.二維雙三次元有限體積法格式為:求uh∈Uh,使得αh(uh,vh)=(f,vh),(?)vh∈Vh.相應(yīng)的單元形式為其中N為所有計算節(jié)點,ΦP為相應(yīng)于P的對偶單元KP*上的特征函數(shù).我們通過數(shù)值實驗,獲得了如下結(jié)論.結(jié)論1:對偶剖分隨α對稱性變化時,H1與L2誤差估計均能達到最佳收斂階,即‖u-uh‖1= O(h3),‖u-uh‖n=O(h4).結(jié)論2:在均勻的網(wǎng)格剖分Th上,對偶剖分隨α對稱性變化時,在對稱點處(各單元的頂點、邊中點以及中心點)的數(shù)值解梯度的平均值與精確解梯度有如下超收斂結(jié)果.結(jié)論3:在均勻的網(wǎng)格剖分Th上,整體超逼近性質(zhì)僅在對偶剖分節(jié)點取為應(yīng)力佳點時成立,即‖uI-uh‖=O(h4).其中u1為u的雙三次Lagrange插值.
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O241.82
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 緒論
第2章 一維Lagrange型三次元
    2.1 試探函數(shù)空間和檢驗函數(shù)空間
    2.2 三次元有限體積法的一般格式
1誤差估計'>    2.3 穩(wěn)定性和H¹誤差估計
    2.4 正交性條件
2誤差估計'>    2.5 L²誤差估計
    2.6 數(shù)值實驗
第3章 二維Lagrange型雙三次元
    3.1 試探函數(shù)空間和檢驗函數(shù)空間
    3.2 雙三次元有限體積法的一般格式
    3.3 數(shù)值實驗
第4章 結(jié)論和展望
參考文獻
致謝

【參考文獻】

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1 于長華;王曉玲;李永海;;解兩點邊值問題的一類修改的三次有限體積元法[J];計算數(shù)學(xué);2010年04期

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1 陳艷利;二階橢圓型方程有限體積法的若干研究[D];吉林大學(xué);2014年

本文編號：2862033