【摘要】：隨著科學技術的迅猛發(fā)展,偏微分方程被用于描述越來越多的物理學、化學、地質、材料等實際問題。由于大多數偏微分方程的精確解很難用解析形式表示,諸多學者紛紛從數值算法的角度對偏微分方程進行研究,設計了各種各樣的數值算法。眾所周知,很多偏微分方程自身都具有一些原問題的本質特征。如何設計高效、穩(wěn)定且保持方程本身特性的數值算法,成為數值算法的重要目標。1.能量守恒和質量守恒不僅是力學系統(tǒng)的重要守恒量,也是評價一個數值算法好壞的重要標準。因此,構造保能量守恒和質量守恒的算法引起了諸多科研工作者的興趣。我們發(fā)現(xiàn),相關的基于有限差分方法和譜配置方法的工作已有較多的積累,本文嘗試基于Galerkin譜元算法討論保結構算法。我們證明了基于線性元半離散耦合非線性薛定諤方程的Hamiltonian性質。隨后,我們嚴格證明了 Galerkin譜元算法保離散能量守恒律和質量守恒律。我們利用插值理論、投影理論等,證明了 Galerkin譜元算法的收斂性。為了提高計算效率,我們采用矩陣對角化方法和快速算法,對Galerkin譜元算法進行顯式化處理,減少計算規(guī)模。最后,數值實驗表明新算法不僅能得到較好的數值解,而且能保質量守恒和能量守恒。通過與文獻中已有算法比較,本文算法能更好地保質量守恒和能量守恒。2.辛守恒是哈密爾頓系統(tǒng)的最重要的幾何性質。早在1984年,馮康先生提出了辛算法的概念。辛算法在解的穩(wěn)定性、有效性以及長時間精確模擬解的行為方面有出色的表現(xiàn)。因此,文獻中出現(xiàn)了很多哈密爾頓偏微分方程辛算法的研究成果。據我們所知,多數辛算法主要基于有限差分方法、小波方法、Fourier擬譜方法,而沒有基于Galerkin有限元的辛算法。文獻中關于二維哈密爾頓系統(tǒng)的辛算法討論也很少。另外,我們發(fā)現(xiàn)辛算法主要是隱式的,這會很大程度影響計算效率。因此,本文我們嘗試為二維非線性薛定諤方程構造Galerkin分裂辛算法,即在空間方向用Galerkin有限元方法離散得到一個哈密爾頓半離散系統(tǒng),再利用Strang分裂方法將半離散系統(tǒng)分裂成兩個子系統(tǒng),一個是線性哈密爾頓子系統(tǒng),一個是非線性子系統(tǒng),其中利用辛中點在時間方向離散線性子系統(tǒng),而對非線性子系統(tǒng)精確求解,從而得到一個保辛的全隱的數值算法。考慮計算規(guī)模比較大,我們引入FFT技術和矩陣對角化方法,將數值算法進行顯式化處理,克服了隱式算法計算效率低的弱點。我們理論證明了 Galerkin分裂辛算法的穩(wěn)定性及守恒性。最后,數值實驗表明新的算法不僅能得到較好的數值解,而且能保系統(tǒng)的質量守恒。通過與文獻中已有數值算法的比較,展現(xiàn)了 Galerkin分裂辛算法具有計算效率高等優(yōu)勢。3.目前基于Hamiltonian保結構算法已經很多的工作。我們嘗試對帶能量耗散的偏微分方程進行保結構算法的研究。帶能量耗散的偏微分方程方程包含更多的動力系統(tǒng),并且應用更為廣泛,如:Birkhoffian動力系統(tǒng),高震蕩系統(tǒng),共形Hamiltonian系統(tǒng)等。接下來,我們主要考慮帶能量耗散的Cahn-Hilliard方程。不可壓縮多相流問題是多材料混合流體力學系統(tǒng)中的熱門問題。Cahn-Hilliard方程是處理不可壓縮多相流自由界面問題的最常用的相場模型。能量耗散是相場模型系統(tǒng)的重要性質。目前,文獻中已有大量關于Cahn-Hilliard方程的研究成果。我們注意到已有的成果主要基于全局能量耗散的性質。本文,我們發(fā)現(xiàn)Cahn-Hilliard方程具有一個局部能量耗散的性質。局部能量耗散性質不依賴于任何邊界條件,能最大程度保留了原系統(tǒng)的信息�；谶@一發(fā)現(xiàn),我們利用復合構造方法和離散變分導方法,嘗試為Cahn-Hilliard方程構造了三個局部保結構算法,嚴格證明了三個算法保局部能量耗散的性質。當給定合適的邊界條件時,三個算法保全局能量耗散的性質也得到了證明。最后,數值實驗表明新的數值算法不僅能得到較好的數值解,而且保系統(tǒng)能量耗散的性質和質量守恒。4.對Cahn-Hilliard方程已有的大量數值研究成果研究發(fā)現(xiàn),顯式的數值算法易于計算,但往往對步長有一定的限制,而隱式的數值算法一般會影響計算效率,但通常保全局能量耗散性質。因此,保能量耗散的線性隱的數值算法成為較好的選擇。因此,學者們嘗試為Cahn-Hilliard方程構造線性隱的保全局能量耗散的算法。目前,凸分裂方法、線性穩(wěn)定化方法和能量二次化方法是構造線性隱式的全局保能量耗散算法最常用的方法,而基于保局部能量耗散性質構造線性隱式的數值算法仍是空白。因此,本文我們嘗試為帶變系數的Cahn-Hilliard方程構造線性隱的保局部能量耗散的算法。類似的,我們證明了帶變系數的Cahn-Hilliard方程具有一個局部能量耗散性質�；谶@一發(fā)現(xiàn),本文我們利用能量二次化方法與復合構造方法,嘗試為帶變系數的Cahn-Hilliard方程構造了四個線性隱的保局部能量耗散的算法,并利用離散萊布尼茲法則,理論上嚴格證明了新算法保局部能量耗散的性質。當給定適當邊界條件時,我們證明了新算法保全局能量耗散和質量守恒的性質。
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O241.82

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本文編號：2664478