【摘要】：離出問題旨在研究弱噪聲極限擾動(dòng)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為。此時(shí),不論噪聲的強(qiáng)度有多小,也不論動(dòng)力系統(tǒng)是否處于概率1意義的穩(wěn)定狀態(tài),只要經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間,一個(gè)隨機(jī)非線性動(dòng)力系統(tǒng)總可以從初始穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)。這種由隨機(jī)性和非線性相互作用導(dǎo)致的、系統(tǒng)在其不同狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的現(xiàn)象就被稱為離出現(xiàn)象。由于隨機(jī)激勵(lì)和隨機(jī)因素普遍存在于工程實(shí)際中,所以在化學(xué)、生物、量子物理、航空工程、汽車工程、土木工程等等各學(xué)科和工程實(shí)際中,均不可避免地涉及眾多的離出問題�；煦缧袨槭欠蔷�性動(dòng)力系統(tǒng)的一種復(fù)雜現(xiàn)象�；煦缦到y(tǒng)具有:對(duì)初值的敏感性、拓?fù)鋫鬟f性、周期軌道在相空間稠密等重要性質(zhì),而混沌系統(tǒng)受隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生的離出現(xiàn)象因?yàn)槠湫袨榈莫?dú)特性和現(xiàn)象的復(fù)雜性引起了普遍的關(guān)注,有關(guān)的研究成果也將會(huì)對(duì)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的離出行為研究產(chǎn)生重要的影響。此外,由于混沌現(xiàn)象廣泛地存在于機(jī)械、電路、氣象、生物系統(tǒng)等實(shí)際結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)中,所以對(duì)于混沌系統(tǒng)在隨機(jī)擾動(dòng)下產(chǎn)生的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為的研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文主要研究了受不同噪聲作用的幾類非線性系統(tǒng)的離出行為,使用擬勢(shì)(quasipotential)、平均首次離出時(shí)間(Mean first passage time,MFPT)與最大可能離出路徑(Most probable escape path),定量地刻畫了混沌吸引子、混沌鞍(chaotic saddles)對(duì)于離出行為的影響。主要研究工作與學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)如下:首先對(duì)一類具有對(duì)稱雙勢(shì)阱勢(shì)能的強(qiáng)非線性系統(tǒng)分別在僅有白噪聲激勵(lì)、周期與白噪聲共同激勵(lì)下的離出問題進(jìn)行了研究。利用WKB(Wenzel-Kramers-Brillouin)近似、奇異攝動(dòng)法和特征線方法將二階偏微分方程——FPK(Fokker-Plank-Kolmogorov)方程的求解問題轉(zhuǎn)化為一組常微分方程組在特征線上的求解問題。在此基礎(chǔ)上得到了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的平均首次離出時(shí)間和最大可能離出路徑,并使用Monte Carlo模擬與歷程概率密度(Prehistory probability density)的概念完成了對(duì)結(jié)果的驗(yàn)證。在分析離出行為的過(guò)程中,還發(fā)現(xiàn)了離出行為模式中的奇異性,并通過(guò)解析方法確定了焦散線(Caustics)與尖點(diǎn)(Cusp)的位置,分析了離出行為模式與最大可能離出路徑的關(guān)系。隨后,在這些方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究了混沌動(dòng)力系統(tǒng)在弱噪聲影響下的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為。第三章對(duì)一個(gè)在周期力與白噪聲共同激勵(lì)下的、具有二次與三次強(qiáng)非線性項(xiàng)的光滑系統(tǒng),首先使用圖胞映射方法得到了無(wú)噪聲擾動(dòng)下的確定性系統(tǒng)在Poincaré截面上的全局相圖,并觀察到不同參數(shù)下其混沌吸引子、混沌鞍的精細(xì)分形結(jié)構(gòu)。再通過(guò)使用第二章中的方法,求解出在弱噪聲擾動(dòng)下的隨機(jī)系統(tǒng)的平均首次離出時(shí)間與最大可能離出路徑。并從數(shù)值模擬和電路實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面予以驗(yàn)證。最后結(jié)合已經(jīng)得到的全局相圖,分析了混沌吸引子、混沌鞍的存在對(duì)于離出行為與系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的影響。由于混沌鞍本身不具有吸引性質(zhì),所以在很多非線性系統(tǒng)中難以察覺,并且它的存在會(huì)對(duì)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)行為產(chǎn)生很多難以預(yù)料的影響。為了進(jìn)一步研究其復(fù)雜的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為,第四章中針對(duì)工程實(shí)際中廣泛存在的一類受到白噪聲與周期力同時(shí)激勵(lì)的分段線性系統(tǒng),使用圖胞映射方法分析了確定性系統(tǒng)中混沌結(jié)構(gòu)的分岔過(guò)程,并求解得到了不同參數(shù)下系統(tǒng)在弱噪聲激勵(lì)下的平均首次離出時(shí)間與最大可能離出路徑。最后結(jié)合這些結(jié)果,仔細(xì)分析了含有混沌鞍的系統(tǒng)的離出機(jī)制,以及混沌鞍對(duì)系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的影響。同時(shí)本論文還使用了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中常用的van der Pol變換與隨機(jī)平均法分析了周期三解在該隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)離出行為中的重要作用,并得到了離出到混沌鞍的平均首次離出時(shí)間。第五章研究了一個(gè)受到諧和與實(shí)噪聲共同激勵(lì)的Duffing振子的離出問題。其中遍歷實(shí)噪聲被假設(shè)為一個(gè)以n維Ornstein-Uhlenbeck(O-U)過(guò)程為變量的可積標(biāo)量函數(shù),并且這個(gè)O-U過(guò)程是由一階線性濾波器濾波高斯白噪聲得到的。在分析離出問題的過(guò)程中使用了基于FPK算子以及其伴隨算子的特征譜展開方法和漸近分析方法,以得到系統(tǒng)平穩(wěn)概率密度函數(shù)的一階展開項(xiàng)的控制方程。由于在這一過(guò)程中避免了使用噪聲的強(qiáng)混合條件(strong mixing condition)和細(xì)致平衡條件(detailed balance condition),這使得分析的范圍可以擴(kuò)大到窄帶實(shí)噪聲引發(fā)的離出問題。
【圖文】：

噪聲擾動(dòng)下非線性動(dòng)力系統(tǒng)離出行為研究Kolmogorov 提出了研究離出問題的兩個(gè)直觀的物理量：平均首次離出時(shí)間（Mean FirstPassage Time, MFPT）與離出點(diǎn)分布（distribution of exit points）。上世紀(jì) 40 年代，Kramers 針對(duì)郎之萬(wàn)方程中的離出問題，使用解析方法首次給出了系統(tǒng)的平均首次離出時(shí)間的近似表達(dá)式： exp U /D (1.2)其中 為首次離出時(shí)間 的數(shù)學(xué)期望，即平均首次離出時(shí)間， U為離出過(guò)程中初始狀態(tài)與終止?fàn)顟B(tài)間的勢(shì)能差，D 為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中弱噪聲的強(qiáng)度。Kramers 的結(jié)果與方法為后來(lái)的研究指明了一條道路，在此后有大量有關(guān)平均首次離出時(shí)間的結(jié)果問世，并且將求解隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)平均首次離出時(shí)間的問題稱為 Kramers 問題[13 15]。到了 60 年代后期，Ventsel 和 Freidlin 針對(duì)離出問題進(jìn)行了深入地分析，他們將離出問題根據(jù)對(duì)應(yīng)的流的形式的不同分為了三類：（a）、順流（with a flow）的離出；(b)、跨越流(across a flow)的離出；(c)、逆流(against a flow)的離出[16,17]。

南京航空航天大學(xué)博士論文通過(guò)檢索兩類強(qiáng)連通子圖的駐足、路由則可以得到吸引子、鞍、排斥流形。所以結(jié)合了胞映射與圖論的優(yōu)點(diǎn)的圖胞映射方法非常適合用于沌動(dòng)力系統(tǒng)。的概念最早由 Hsu 建立[70,71]，并由徐健學(xué)在國(guó)內(nèi)廣泛應(yīng)用與推廣[7間劃分為 N 個(gè)胞，構(gòu)成胞空間。每個(gè)胞中可以選取 M 個(gè)樣本點(diǎn)，，可些樣本點(diǎn)經(jīng)過(guò)動(dòng)力系統(tǒng)的作用所到達(dá)的像胞，這樣就可以構(gòu)建出整個(gè)的映射關(guān)系，如圖 1. 2 所示。
【學(xué)位授予單位】：南京航空航天大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O415.5;O422.8;O19

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 孔琛;劉先斌;;受周期和白噪聲激勵(lì)的分段線性系統(tǒng)的吸引域與離出問題研究[J];力學(xué)學(xué)報(bào);2014年03期

2 劉先斌，陳虬，陳大鵬;非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔研究[J];力學(xué)進(jìn)展;1996年04期

本文編號(hào)：2658512