【摘要】：隨機(jī)微分方程廣泛應(yīng)用于模擬物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等諸多領(lǐng)域中的現(xiàn)象。因?yàn)榇蟛糠值碾S機(jī)微分方程都無(wú)法求出其真解,對(duì)于隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的研究近些年來(lái)扮演著越來(lái)越重要的角色。通常,能夠保持原系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),比如幾何性質(zhì)、物理性質(zhì)等的數(shù)值方法,稱(chēng)之為保結(jié)構(gòu)方法。保結(jié)構(gòu)方法因其良好的性質(zhì),尤其是在長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值模擬中的優(yōu)勢(shì),得到了學(xué)者們的極大關(guān)注。因?yàn)槭睾懔亢托列允莾蓚�(gè)最重要的系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì),本文主要致力于構(gòu)造能夠保持一些隨機(jī)微分方程守恒量或辛性的數(shù)值方法。主要工作如下:考慮了具有守恒量的隨機(jī)微分方程�；谛碧荻刃问綐�(gòu)造了一類(lèi)離散梯度方法,分析了該方法達(dá)到均方收斂階1的充分條件。然后,構(gòu)造了一類(lèi)線(xiàn)性投影方法。證明了所構(gòu)造的兩類(lèi)方法之間的關(guān)系,即,線(xiàn)性投影方法可以看作是離散梯度方法的一個(gè)子集。應(yīng)用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果,并說(shuō)明了所構(gòu)造方法的有效性�？紤]了具有守恒量的分塊隨機(jī)微分方程。構(gòu)造了一個(gè)隨機(jī)分塊平均向量場(chǎng)方法并進(jìn)行了分析。證明了該方法可以自動(dòng)保持原系統(tǒng)的守恒量。詳細(xì)地進(jìn)行了收斂性分析,得出了該方法的均方收斂階是1.數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了方法的有效性�？紤]了兩類(lèi)單一積分函數(shù)型的隨機(jī)微分方程。第一類(lèi)情形,研究了隨機(jī)正則Hamilton系統(tǒng)的任意高階保能量方法。通過(guò)W變換得到了一類(lèi)含參數(shù)的隨機(jī)Runge Kutta方法,并應(yīng)用截?cái)嚯S機(jī)變量替換了Wiener增量。證明了此替換在某些條件下不會(huì)改變方法的收斂階,并且,該方法對(duì)于任意確定的參數(shù)均為保辛的。分析了每一步都存在一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)使得能量守恒成立,而且,該能量守恒的方法保持原隨機(jī)Gauss Runge Kutta方法的收斂階。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了該保能量方法求解隨機(jī)正則Hamilton系統(tǒng)的有效性。第二類(lèi)情形,研究了隨機(jī)Poisson系統(tǒng)的任意高階保能量方法�；跀_動(dòng)配置方法,構(gòu)造了一類(lèi)求解隨機(jī)Poisson系統(tǒng)的顯式含參數(shù)隨機(jī)Runge Kutta方法。類(lèi)似于第一類(lèi)情形,證明了每一步都存在一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)使得能量守恒成立,而且,該能量守恒的方法保持原隨機(jī)Runge Kutta方法的收斂階。數(shù)值實(shí)驗(yàn)顯示了方法的有效性以及得到的收斂階結(jié)果。提出了一種構(gòu)造辛隨機(jī)分塊Runge Kutta方法的新穎有效的途徑。構(gòu)造了一類(lèi)求解分塊隨機(jī)微分方程的連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法。通過(guò)隨機(jī)B級(jí)數(shù)理論,得到了連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法的階條件。應(yīng)用連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法求解隨機(jī)Hamilton系統(tǒng),得到了連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法的辛條件。證明了對(duì)于保辛的連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法,使用任一求積公式都會(huì)導(dǎo)出一個(gè)保辛的隨機(jī)分塊Runge Kutta方法。通過(guò)這種途徑,選取不同的求積公式即可方便地得到不同的辛隨機(jī)分塊Runge Kutta方法。依據(jù)辛條件和階條件,構(gòu)造了一個(gè)具體的收斂階為1的辛連續(xù)級(jí)值隨機(jī)分塊Runge Kutta方法,并應(yīng)用幾個(gè)求積公式得到了幾個(gè)辛隨機(jī)分塊Runge Kutta方法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果,表明了方法的有效性。
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O211.63

【參考文獻(xiàn)】

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1 王小捷;隨機(jī)微分方程數(shù)值算法研究[D];中南大學(xué);2012年

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本文編號(hào)：2625417