【摘要】：倒向隨機微分方程在許多領(lǐng)域中有著重要的理論和應(yīng)用價值.然而,能夠顯式求解的倒向隨機微分方程很少,因此高效求解倒向隨機微分方程的算法研究顯得十分重要.經(jīng)過不懈地努力,現(xiàn)在我們已經(jīng)可以實現(xiàn)高精度數(shù)值求解一般倒向隨機微分方程.根據(jù)倒向隨機微分方程本身結(jié)構(gòu)特征和Ito隨機積分理論,并結(jié)合科學(xué)計算方法,積分離散法θ格式[46]可以高效地求解倒向隨機微分方程.在金融領(lǐng)域的實際應(yīng)用中,我們往往需要使用多維的倒向隨機微分方程解決問題.由于多維問題本身的特點,許多數(shù)值求解高維倒向隨機微分方程的方法會變得非常復(fù)雜,導(dǎo)致計算非常耗時;有的方法甚至無法利用現(xiàn)有技術(shù)實現(xiàn).基于積分離散法θ格式,本文嘗試對一般多維倒向隨機微分方程進行數(shù)值求解.低差異度序列經(jīng)常在擬蒙特卡洛方法中作為積分點使用.根據(jù)點集的差異度分析理論,相比隨機點集和通過張量積生成的規(guī)則網(wǎng)格,其均勻性更好.由于多項式函數(shù)插值在多維空間中并不總是存在唯一的,而且全局支撐徑向基函數(shù)存在條件正定和形狀參數(shù)ε選值困難的問題,因此本文引入緊支撐正定徑向基函數(shù)進行插值估計以解決上述問題.本文在第一章對數(shù)值求解倒向隨機微分方程的算法,低差異度序列和徑向基函數(shù)局部化方法進行文獻綜述;第二章簡要介紹了一些相關(guān)的Ito隨機積分結(jié)論和倒向隨機微分方程性質(zhì)結(jié)論;第三章分析了 θ格式的理論框架和結(jié)果,并針對條件期望的估計等求解技巧進行討論;第四章首先介紹了點集的差異度分析理論,并提出使用低差異度點集代替規(guī)則網(wǎng)格作為網(wǎng)格點,然后引入了緊支撐正定徑向基函數(shù)局部化插值方法并闡述了其必要性和重要性,最后結(jié)合低差異度序列和徑向基函數(shù)局部化方法對插值問題進行了一系列數(shù)值實驗;第五章展示了使用本文方法求解一維和二維倒向隨機微分方程的數(shù)值實驗結(jié)果并進行分析;第六章是本文的總結(jié).基于之前的研究工作,本文的亮點主要有以下幾個方面:1.根據(jù)低差異度點集的均勻性質(zhì),本文提出將低差異度點集作為網(wǎng)格點而不再是積分點使用.在多維空間中,相比經(jīng)常使用的規(guī)則網(wǎng)格點,低差異度點集能夠在一定程度上減少空間網(wǎng)格點數(shù)量;2.針對多維空間插值方法,本文引入緊支撐正定徑向基函數(shù)插值.注意到在具體求解中可利用的數(shù)據(jù)點可能有成千上萬個,本文進一步引入局部化方法,僅利用待估計點附近的網(wǎng)格點數(shù)據(jù)進行估計,從而提高了計算效率.通過一系列數(shù)值實驗,本文對基于低差異度序列的徑向基函數(shù)局部化方法進行了討論,并通過對比三次樣條插值的誤差結(jié)果,得到了如何較好地設(shè)置方法細節(jié)的結(jié)論.在具體求解多維倒向隨機微分方程之前,本文對如何控制誤差的問題進行了一些討論,提出先對終端條件進行插值試驗以確定空間網(wǎng)格點數(shù)量的方法.數(shù)值實驗表明,利用θ格式,基于低差異度點集的徑向基函數(shù)局部化方法可以比較有效地求解倒向隨機微分方程.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O211.63

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 趙衛(wèi)東;;正倒向隨機微分方程組的數(shù)值解法[J];計算數(shù)學(xué);2015年04期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前2條

1 楊杰;正倒向隨機微分方程的數(shù)值解法及其在PDEs中的應(yīng)用研究[D];山東大學(xué);2017年

2 王金磊;倒向隨機微分方程的數(shù)值方法及其誤差估計[D];山東大學(xué);2009年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前1條

1 李鵬飛;徑向基函數(shù)插值方法及其在倒向隨機微分方程數(shù)值求解中的應(yīng)用[D];山東大學(xué);2012年

，

本文編號：2625371