【摘要】：在實際工程技術(shù)領(lǐng)域,偏微分方程及其理論發(fā)揮著重要作用,而大多數(shù)偏微分方程的解析解是很難求出的。在實際應用中,運用數(shù)值解的近似代替則尤為重要。本文提出了一種新的數(shù)值求解偏微分方程的方法—多重有限變限積分法。并在運用該方法構(gòu)造數(shù)值格式時,給出了多種具體方案,包括結(jié)合拉格朗日插值函數(shù)、泰勒展式、泰勒公式法等擬合方式得到的不同方案。多重有限變限積分法與其它數(shù)值方法相比,構(gòu)造的數(shù)值格式顯現(xiàn)出精度可控、物理意義明確、可構(gòu)造具有守恒性的格式、格式多樣化等優(yōu)點。此外,構(gòu)造數(shù)值格式過程清晰明了,是一種理想的能夠按指定精度要求構(gòu)造離散格式的數(shù)值方法。但是,此方法還處于研究的初級階段,還有很多方面需要進一步研究。本文對于多重有限變限積分法作了如下創(chuàng)新性研究:首先,本文提出了一種函數(shù)擬合的新方法—泰勒公式法,這種方法的優(yōu)勢是便于分析離散格式的誤差精度,可以構(gòu)造任意給定n階精度的離散格式。其次,在具體構(gòu)造格式過程中,要對偏微分方程每一項進行多重積分,積分計算會帶來一定的工作量。本文針對偏微分方程中含有空間三次導數(shù)和四次導數(shù)項的情況,分別給出了對應的7次積分和15次積分的計算多重積分的簡單計算公式,這給格式構(gòu)造過程提供了便捷。然后,通過泰勒公式法對工程中廣泛應用的Sobolev類型方程近似計算,這是構(gòu)造Sobolev類型方程的離散格式的一種全新的嘗試。本文中給出了Sobolev類型方程數(shù)值離散格式的具體離散過程,并對數(shù)值格式解的存在唯一性進行了證明。最后給出數(shù)值算例,數(shù)值實驗分五個實際問題展開。數(shù)值實驗結(jié)果表明,通過多重有限變限積分法離散偏微分方程是切實有效的,得到的數(shù)值格式能夠達到設(shè)計的精度。最后,前面給出泰勒公式法是計算多重積分的近似積分值,本文還對多重積分的精確計算進行了研究,主要針對含二次導數(shù)項的三次積分,得到了精確地加權(quán)函數(shù)積分公式。
【圖文】：

選取參數(shù)0β = 1, c = 0.03，， x=10。下面圖 4.1 表示用多重有限變限積分法求解的數(shù)值解和真解對比得到的絕對誤差，已知真解在 T = 200時表示如下：20u ( x , t ) = 3c sech( k ( x x)（4-35）圖 4.2 分別描繪了 T = 0和 T =200時的數(shù)值解和真解圖像。在這兩個圖像中，區(qū)域Ω = [0,30],空間時間步長分別為 h = 0.200, τ= 0.001。

圖 4.2 分別在 T = 0和 T = 200時 數(shù)值解和真解的圖像表 4.1 當 Ω = [0,30]τ = 0.001T = 200時 L∞-范數(shù)2L -范數(shù)和1L -范數(shù)及數(shù)值收斂階J L∞-范數(shù) order L2-范數(shù) order L1-范數(shù) order40 0.0014 -- 0.0021 -- 0.0060 --60 2.8929×10-43.8888 4.4841×10-43.8079 0.0013 3.772080 9.1418×10-54.0048 1.4451×10-43.9361 4.1497×10-43.9694100 3.8297×10-53.8992 6.0273×10-53.9188 1.7860×10-43.7781表 4.2 當 Ω = [0,30]h = 0.01T = 200時 L∞-范數(shù)2L -范數(shù)和1L -范數(shù)及數(shù)值收斂階N L∞-范數(shù) order L2-范數(shù) order L1-范數(shù) order40 6.5017×10-4-- 0.0010 -- 0.0030 --50 4.1444×10-42.1080 6.5125×10-41.9219 0.0019 2.046960 2.8722×10-42.0112 4.5152×10-42.0089 0.0013 2.081470 2.1077×10-42.0050 3.3149×10-42.0047 9.8291×10-41.8138
【學位授予單位】：哈爾濱工程大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O241.82

【參考文獻】

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4 羅敏;胡建成;;邊界層理論中Falkner-Skan方程的數(shù)值解[J];四川大學學報(自然科學版);2012年03期

5 羅躍生;張見升;;一種新的高效的有限體積法[J];價值工程;2012年09期

6 于長華;王曉玲;李永海;;解兩點邊值問題的一類修改的三次有限體積元法[J];計算數(shù)學;2010年04期

7 冉瑞生;黃廷祝;;三對角矩陣的逆[J];哈爾濱工業(yè)大學學報;2006年05期

8 何國龍,陳志祥,周頌平;插值多項式對函數(shù)|x|~α的逼近[J];浙江大學學報(理學版);2004年01期

9 孫劍,湯廣發(fā),李念平;非規(guī)則網(wǎng)格有限體積法處理不規(guī)則邊界的研究[J];湖南大學學報(自然科學版);2001年02期

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4 陳艷秋;多元有理插值方法的研究[D];安徽大學;2013年

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7 張雪;求解對流占優(yōu)反應擴散問題的有限體積元法[D];東北大學;2012年

8 魏欣;關(guān)于有理插值方法的若干研究[D];合肥工業(yè)大學;2012年

9 張麗劍;基于多元函數(shù)插值逼近的微分方程數(shù)值方法研究[D];哈爾濱工程大學;2009年

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本文編號：2605934