【摘要】：最優(yōu)控制問題的數(shù)值近似是工程設計中的重要課題,而分數(shù)階擴散方程在數(shù)學物理領域中的應用也非常廣泛。相比于整數(shù)階方程,分數(shù)階擴散方程更能準確恰當?shù)孛枋龇闯U散過程。比如模擬溶質的運動過程,湍流,地下水污染物運移以及古典保守系統(tǒng)的混沌動力學等。因此,對分數(shù)階擴散方程最優(yōu)控制問題的算法研究有著重要的意義。由于分數(shù)階差分算子的非局部性質,有限差分數(shù)值方法會產生稠密的系數(shù)矩陣,針對該線性系統(tǒng)的直接算法往往需要O(N3)的計算量和O(N2)的存儲量。所以,尋找解決該系統(tǒng)的快速算法就意義重大。本文主要研究基于非穩(wěn)態(tài)空間分數(shù)階擴散方程及點態(tài)受限約束的三維最優(yōu)控制問題的快速差分算法,共分五章。第一章,給出分數(shù)階最優(yōu)控制問題的研究背景及現(xiàn)狀,并給出所要研究的問題模型：尋找使得如下目標泛函達到最小其中狀態(tài)方程滿足第二章,通過引入伴隨狀態(tài)方程,給出了梯度投影算法并介紹了CN-WSGD差分格式。第三章,首先給出狀態(tài)和伴隨狀態(tài)方程的交替方向法,然后給出求解線性方程組的PCG/PCGS算法,最后根據(jù)ADI-WSGD格式,分析得到的線性方程組的矩陣特性。根據(jù)系數(shù)矩陣的Toeplitz性質,在對稱情況下,應用PCG算法將計算量從一般高斯消去法的O(N3)減少到O(NlogN)。在非對稱情況下,應用PCGS算法將計算量控制在O(NlogN)內。第四章,分別給出對稱和不對稱兩種數(shù)值算例,采用PCG/PCGS方法和GAUSS消去法分別進行求解,并比較最后的收斂情況及CPU時間。結果表明,與傳統(tǒng)的GAUSS消去法相比,在保持同樣的收斂效果下,快速算法大大提高了計算效率。第五章,給出全文的總結。
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82;O232

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