【摘要】： 向量是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。向量作為一種不同于數(shù)的量，有自己獨(dú)特的運(yùn)算結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，學(xué)習(xí)向量有助于發(fā)展學(xué)生對“數(shù)、量和運(yùn)算”的認(rèn)識(shí)。向量幾何提供了一種認(rèn)識(shí)空間和圖形的新方法，使學(xué)生初步領(lǐng)略機(jī)械化的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想。向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，可以使師生從一種新的角度詮釋許多初等數(shù)學(xué)知識(shí)，并為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)理論奠定基礎(chǔ)。 近幾年，從數(shù)學(xué)角度探索向量教與學(xué)的研究多是探討技術(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)課程后怎樣影響學(xué)生數(shù)學(xué)概念的發(fā)展以及解題途徑的產(chǎn)生。向量概念包括方向和大小兩個(gè)維度，有幾何圖像和代數(shù)坐標(biāo)等多種表征方式。這給教學(xué)和學(xué)生的概念理解都帶來一定困難。向量進(jìn)入我國高中數(shù)學(xué)課程后，引起廣大師生的極大關(guān)注和興趣。但國內(nèi)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域?qū)ο蛄拷虒W(xué)中許多重要而基礎(chǔ)的問題一直缺少實(shí)證研究。例如普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生“理解平面向量概念”，“能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理。”，“體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用”，等等。因此，我們試圖通過對向量教學(xué)中四個(gè)基本問題的探討來反映當(dāng)前的現(xiàn)狀和問題。 我們首先以SOLO，APOS等教學(xué)理論為基礎(chǔ)檢驗(yàn)學(xué)生對向量概念(幾何圖象和代數(shù)坐標(biāo))的理解水平，以及與向量概念有關(guān)的錯(cuò)誤類型。我們選擇302名高二學(xué)生為被試，利用測試卷、訪談、個(gè)案研究作為研究工具。研究發(fā)現(xiàn)，對于檢驗(yàn)向量概念的測試題，有約占總數(shù)22％的學(xué)生在幾何圖像方面達(dá)到水平4，約占總數(shù)3％的學(xué)生在代數(shù)符號方面達(dá)到水平4，只有約2％的學(xué)生在幾何圖像和代數(shù)符號兩個(gè)方面都達(dá)到靈活協(xié)調(diào)階段。大多數(shù)學(xué)生沒有建構(gòu)自由向量概念。學(xué)生更傾向于應(yīng)用向量的幾何圖像表征處理問題。把向量看作一段距離或一個(gè)數(shù)是向量錯(cuò)誤的主要類型。 其次，我們檢驗(yàn)了用向量法處理立體幾何度量與位置關(guān)系問題的教學(xué)效果。以測試卷和調(diào)查表為工具，我們對368名高三學(xué)生怎樣處理能用兩種方法(綜合法與向量法)解決的立體幾何(位置關(guān)系與角的度量)問題以及學(xué)生對兩種方法特征的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明：同時(shí)用兩種方法處理問題的學(xué)生(EV型)人數(shù)最多，僅使用綜合法(E型)的人數(shù)略高于僅使用向量法(V型)的人數(shù)。但V類型學(xué)生的解法似乎更有效，成功率高于E類型學(xué)生。而且EV類型學(xué)生的得分結(jié)果也表明，向量方法的正確率高于綜合法。 我們還分析了兩種錯(cuò)誤類型——一般性錯(cuò)誤與向量錯(cuò)誤。對E類型和EV類型學(xué)生來說，一般性錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在邏輯推理方面，其次是技術(shù)性錯(cuò)誤，誤用題目信息，誤用定理或定義。對于運(yùn)用向量方法的學(xué)生，V類型學(xué)生和EV類型學(xué)生(應(yīng)用向量法部分)的一般性錯(cuò)誤類型都是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換。向量坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤是向量錯(cuò)誤的主要類型。 對于兩種方法(綜合法與向量法)特征的認(rèn)識(shí)，研究表明學(xué)生認(rèn)為綜合法的最主要優(yōu)點(diǎn)是：綜合法是解決立體幾何問題的基本方法(向量只能處理個(gè)別問題)。綜合法的最主要缺點(diǎn)是不會(huì)做輔助線以及找不到要求的線或角。學(xué)生認(rèn)為向量法的最主要優(yōu)點(diǎn)是方法簡潔有效，向量法的主要缺點(diǎn)是計(jì)算繁瑣易出錯(cuò)。 第三，我們以皮亞杰的圖式理論為基礎(chǔ)，從知識(shí)關(guān)聯(lián)性的角度研究了教師的向量概念。我們以測試卷、訪談、個(gè)案研究為工具，對23名教師進(jìn)行了調(diào)查。結(jié)果表明：大多數(shù)教師不能以一種系統(tǒng)的觀點(diǎn)去看待向量概念及其一些變換，例如，他們對向量概念的理解僅限于教材中的定義——“向量是既有大小又有方向的量”。他們雖然能判斷一個(gè)線性方程組有無解，但不能表示出解空間的結(jié)構(gòu)。他們認(rèn)為復(fù)數(shù)、矩陣與向量概念有許多相似，但看不清幾個(gè)概念之間的關(guān)系。 第四，我們通過對上海、沈陽和石家莊三地1069位教師的問卷調(diào)查和其后三位教師的訪談，調(diào)查高中教師對向量在高中數(shù)學(xué)課程中作用的態(tài)度，教師相關(guān)教學(xué)知識(shí)的發(fā)展途徑，教師希望進(jìn)一步培訓(xùn)的內(nèi)容，等等。結(jié)果表明：立體幾何簡化論和解題方法的多樣性是大多數(shù)教師對向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程的基本認(rèn)識(shí)。 最后，我們通過反思和整合各項(xiàng)研究結(jié)果，得出如下結(jié)論：(1)教材和教學(xué)沒有重視培養(yǎng)學(xué)生的自由向量概念。(2)立體幾何用兩種方法(綜合法和向量法)處理沒有引起學(xué)生的思維沖突，但仍受歐氏幾何影響較深。(3)大多數(shù)教師具有的向量知識(shí)以程序性經(jīng)驗(yàn)為主。(4)囿于自身經(jīng)驗(yàn)積累和反思，以及同水平經(jīng)驗(yàn)分享的知識(shí)發(fā)展途徑影響了教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(向量概念)的進(jìn)一步發(fā)展。據(jù)此，我們對向量教學(xué)、教材編寫以及教師培訓(xùn)提出若干建議：(1)教材應(yīng)明確提出自由向量概念。(2)改進(jìn)向量定義的敘述方式。(3)教學(xué)應(yīng)展現(xiàn)向量概念從不同的物理情境到數(shù)學(xué)概念的抽象過程，，突出自由向量的概念本質(zhì)。(4)加強(qiáng)向量的代數(shù)坐標(biāo)表示及運(yùn)算的教學(xué)。(5)探索和推廣新的教師教育發(fā)展模式勢在必行。
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2007
【分類號】：G633.6

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