本文選題：勾股定理 + 公式　

勾股定理的介紹：

中文名：勾股定理

外文名：Pythagoras theorem 

別稱：商高、畢達哥拉斯、百牛定理 

表達式：a²+b²=c² 

提出者：畢達哥拉斯  趙爽  商高 

提出時間：公元前551年 

應用學科：幾何學 

適用領域范圍：數(shù)學，幾何學 

中國記載：《周髀算經》《九章算術》 

外國記載著作：《幾何原本》 

限制條件：直角三角形

勾股定理是一個基本的幾何定理，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c² 。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)組成a²+b²=c²的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。

勾股定理是一個初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個最著名的例子。當整數(shù)a,b,c滿足a²+b²=c²這個條件時，（a,b,c）叫做勾股數(shù)組。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c²。”常見勾股數(shù)有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。

遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測量土地時，也應用過勾股定理。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

勾股定理的公式：

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是 ，那么可以用數(shù)學語言表達：

勾股定理是余弦定理中的一個特例。

勾股定理的證明方法：

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，

“總統(tǒng)證法”示意圖

加菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式。

如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

勾股定理的應用方法：

小明學了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據勾股定理，則a2+b2=c2．爸爸笑瞇瞇地聽完后說：很好，你又掌握了一樣知識，現(xiàn)在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關系，并證明你的結論．(下圖備用)

答案: 解：①當三角形是銳角三角形時，

證明：作AD⊥BC垂足是D，設CD的長為x，

根據勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2

整理得：a2+b2=c2+2ax

∵2ax＞0

∴a2+b2＞c2

②當三角形為鈍角三角形時

證明：過B點作AC的垂線交AC于D點，設CD的長為y

在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2

在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，

∴b2-y2=c2-（a+y）2

整理得：a2+b2=c2-2ay

∵2ay＞0，∴a2+b2＜c2．

所以：①在銳角三角形中，a2+b2＞c2．

②在鈍角三角形中，a2+b2＜c2．  

解析: 根據題意要分銳角三角形、鈍角三角形分別證明，作出它們的高，根據高是兩個直角三角形的一個公用直角邊，利用勾股定理作出證明．

勾股定理的補充資料：

勾股定理的簡史：

中國

公元前十一世紀，周朝數(shù)學家商高就提出“勾三、股四、弦五”�！吨荀滤憬洝分杏涗浿谈咄芄囊欢螌υ�。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄于《九章算術》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。

在中國清朝末年，數(shù)學家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。

外國

遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應用過勾股定理。

公元前六世紀，希臘數(shù)學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

公元前4世紀，希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

勾股定理的意義：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；

2、勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理； 

3、勾股定理導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值。這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他科學領域也有著廣泛的應用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學公式”郵票，這十個數(shù)學公式由著名數(shù)學家選出的，勾股定理是其中之首。