本文選題：勾股定理 + 證明　

導(dǎo)讀：
　　勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。」據(jù)考證，人類對這條定理的認(rèn)識，少說也超過4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時世上一共有超過300個對這定理的證明！
　　我覺得，證明多，固然是表示這個定理十分重要，因而有很多人對它作出研究；但證明多，同時令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數(shù)學(xué)意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了7個我認(rèn)為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認(rèn)識它們的歷史背境。
　　證明一
　　
　　
　　圖一
　　在圖一中，DABC為一直角三角形，其中蠥為直角。我們在邊AB、BC和AC之上分別畫上三個正方形ABFG、BCED和ACKH。過A點(diǎn)畫一直線AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不難證明，DFBC全等於DABD（S.A.S.）。所以正方形ABFG的面積= 2 DFBC的面積= 2 DABD的面積= 長方形BMLD的面積。類似地，正方形ACKH的面積= 長方形MCEL的面積。即正方形BCED的面積= 正方形ABFG的面積+正方形ACKH的面積，亦即是 AB2+ AC2= BC2。由此證實了勾股定理。
　　這個證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關(guān)系來進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以ML將正方形分成BMLD和MCEL的兩個部分！
　　這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
　　歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，，并完成了著作《幾何原本》�！稁缀卧尽肥且徊縿潟r代的著作，它收集了過去人類對數(shù)學(xué)的知識，并利用公理法建立起演繹體系，對後世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。
　　證明二
　　
　　
　　圖二
　　圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長度為c，其余兩邊的長度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
　　(a+ b)2 = 4(1/2 ab) + c2
　　展開得 a2+ 2ab+ b2 = 2ab+ c2
　　化簡得 a2+ b2 = c2
　　由此得知勾股定理成立。
　　證明二可以算是一個非常直接了當(dāng)?shù)淖C明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：
　　
　　
　　圖三
　　由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b-a)2
　　展開得 = 2ab+ b2-2ab+ a2
　　化簡得 c2 = a2+ b2（定理得證）
　　圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出的！據(jù)記載，這是出自三國時代（即約公元3世紀(jì)的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經(jīng)》作注釋時，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。
　　證明三
　　
　　
　　圖四
　　圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成一個梯形。利用梯形面積公式，我們得到

本文編號：1794667