《復(fù)數(shù)的概念》參考課件

復(fù)數(shù)的概念
回顧數(shù)系擴(kuò)充 問題的提出 大膽假設(shè) 小結(jié) 布置作業(yè)

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念
自然數(shù)

數(shù) 系 的 擴(kuò) 充

2?3 ? ?
正有理數(shù)和零

用圖形表示數(shù)集包含關(guān)系：

3?5 ? ?

有理數(shù)

R

Q

N
Q+∪{0}

x ? 2, 則 x ? ?
2

實(shí)數(shù)

數(shù)系是怎樣一步一步擴(kuò)充的？

怎樣解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? ?
△? 2 2 ? 4 ? 3 ? 0 ∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解. 顯然，

到底是怎么一回事?

x ? 2 x ? 3 ? 0 配方得 x ? 2 x ? 1 ? ?2 2 即 ( x ? 1) ? ?2
2 2

負(fù)數(shù)能否開平方?又如 x ? ? 1 呢?
2

在解方程時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到這類問題.如果負(fù)數(shù)可以開平 方,那這個(gè)平方根不會(huì)是實(shí)數(shù),是什么數(shù)呢?

問題解決:

為了解決負(fù)數(shù)開平方問題，數(shù)學(xué)家大膽引入一個(gè)新
數(shù) i ，把 i 叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定： (1) i 2??1； (2)實(shí)數(shù)可以與 i 進(jìn)行四則運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算 時(shí),原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律 和分配律)仍然成立.

復(fù)數(shù)的發(fā)展史 虛數(shù)這種假設(shè),是需要勇氣的,人們?cè)诋?dāng)時(shí)是無法 接受的,認(rèn)為她是想象的,不存在的,但這絲毫不影響數(shù) 學(xué)家對(duì)虛數(shù)單位 i 的假設(shè)研究:第一次認(rèn)真討論這種數(shù) 的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他 是 1545 年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭 辯量”.幾乎過了 100 年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)” 取了一個(gè)名字——虛數(shù)．

但是又過了 140 年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于 “幻想之中” ，并用 i （imaginary，即虛幻的縮寫）來表 示它的單位. 后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義， 但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他們也感到它 的作用．1830 年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平 面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù) a ? bi ，使復(fù)數(shù)有了立足之地,人們才 最終承認(rèn)了復(fù)數(shù).到今天復(fù)數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代科技中普遍 運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一.

(3) i 0??1；
(4) i -m?1/im 一般，關(guān)于i的冪： i 4n? (i 4)n =1; i 4n+1? i 4n ＊i = i;

i 4n+２? i 4n ＊i２ = -１; i 4n+３? i 4n ＊i３ = - i

計(jì)算： (1) i 105

(2) i r+ i r+1+ir+2+ir+3

這樣就會(huì)出現(xiàn)許多新數(shù),如 2 i 、3 i 、2 ? i 、3 ? i 等. 形如 a ? bi (a , b ? R ) 的數(shù)叫做復(fù)數(shù).

全體復(fù)數(shù)所成的集合 C 叫做復(fù) 數(shù)集. 即 C ? ? a ? bi a , b ? R?

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式： 通常用字母 z 表示，即

z ? a ? bi

( a ? R, b ? R )

其中a —實(shí)部 , b —虛部 ,

i 稱為虛數(shù)單位.

討論:復(fù)數(shù)集 C 和實(shí)數(shù)集 R 之間有什么關(guān)系？

規(guī)定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a

? ? 當(dāng) b ? 0 時(shí)， z ? a ? bi 叫做虛數(shù). 復(fù)數(shù) z ? a ? bi ? ? 當(dāng) a ? 0且 b ? 0 時(shí)，z ? bi 叫做純虛數(shù). ?
規(guī)定:兩復(fù)數(shù) a ? bi 與 c ? di (a , b , c , d ? R ) 相等的充要條件是 a ? c 且 b ? d .

當(dāng) b ? 0 時(shí)，這時(shí) z ? a 是實(shí)數(shù).

例1 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

是（1）實(shí)數(shù)？ （2）虛數(shù)？ （3）純虛數(shù)？
解: （1）當(dāng) m ? 1 ? 0，即

m ? 1時(shí)，復(fù)數(shù)z 是實(shí)數(shù)． （2）當(dāng) m ? 1 ? 0 ，，即 m ? 1時(shí)，復(fù)數(shù)z 是虛數(shù)． （3）當(dāng) ?m ? 1 ? 0 即 m ? ?1時(shí)，復(fù)數(shù)z 是 ? ?m ? 1 ? 0 純虛數(shù)．

練習(xí)1:當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是 （1）實(shí)數(shù)

（2）虛數(shù)

（3）純虛數(shù)

m ? 1或m ? ?1
m ? 1且m ? ?1
m ? ?2

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我

們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．

若a, b, c, d ? R,

a ? bi

?a ? c ? c ? di ?? ?b ? d

例2 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ，其中 x , y ? R 求

x與y .
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

練習(xí) 2. ⑴ 已知 ? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5 ? ? ? 3 x ? y ? i ,

x ? 3, y ? ?2 ⑵ 若 ? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i ,
求實(shí)數(shù) x , y 的值. 求實(shí)數(shù) x , y 的值.

x ? 1, y ? 1

學(xué)習(xí)小結(jié)
1.虛數(shù)單位i的引入；

2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：
3.復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)的實(shí)部 、虛部 虛數(shù)、純虛數(shù)
復(fù)數(shù)相等

選做作業(yè): 若方程 x 2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 個(gè) 實(shí) 1. 數(shù)根,求實(shí)數(shù) m 的值.

m ? ?2 2



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