本文關鍵詞：高中數學等差數列教案，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

相關熱詞搜索：

篇一：高中數學等差數列教案

課 題：

3.1 等差數列（一）

教學目的：

1．明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式 教學難點：等差數列的性質 授課類型：新授課 課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析：

本節(jié)是等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函數的聯(lián)系，這樣就便于利用所學過的一次函數的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什么表示等差數列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數列(從幾何上看兩點可以決定一條直線教學過程：

一、復習引入：

上兩節(jié)課我們學習了數列的定義及給出數列和表示的數列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法和前n項和公式..看這樣一些例子

1．小明覺得自己英語成績很差，目前他的單詞量只 yes,no,you,me,he 5起每天背記10個單詞，那么從今天開始，他的單詞量逐日增加，依次為：5，15，25，35，? （問：多少天后他的單詞量達到3000？）

2．小芳覺得自己英語成績很棒，她目前的單詞量多達了，結果不知不覺地每天忘掉5個單詞，那么從今天開始，她的單詞量逐日遞減，依次為：

3000，2995，2990，2985，?

（問：多少天后她那3000個單詞全部忘光？）

從上面兩例中，我們分別得到兩個數列

① 5，15，25，35，?和 ② 3000，2995，2990，2980，? 請同學們仔細觀察一下，看看以上兩個數列有什么共同特征？？

·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等——應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數列一個名字——等差數列

二、講解新課：

1．等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的

差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d

⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數列{an},若an－an?1=d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈N?，則此數列

是等差數列，d 2．等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】

?an?的首項是a1，公

差是d，則據其定義可得： a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

??

由此歸納等差數列的通項公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an如數列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6） 數列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 數列③;,;,1,?; an?

55551234

15

?(n?1)?

15

?

n5

（n≥1）

由上述關系還可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d

am?anm?n

即的第二通項公式 an?am?(n?m)d∴ d=如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d 三、例題講解

例1 ⑴求等差數列8，5，2?的第20項

⑵ -401是不是等差數列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？ 解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4 得數列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得

n=100，即-401是這個數列的第100例2 在等差數列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an 解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10 ?

?a1?11d?31

?

?a1??2

∴an?a1?(n?1)d?3n?5 ?

?d?3

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?5小結：第二通項公式 an?am?(n?m)d

例3將一個等差數列的通項公式輸入計算器數列un中，設數列的第s項和第t項分別為

us和ut，計算

us?uts?t

解：通過計算發(fā)現(xiàn)

us?uts?t

的值恒等于公差

證明：設等差數列{un}的首項為u1，末項為un，公差為d， ?us?u1?(s?1)d?

?ut?u1?(t?1)d

(1)(2)

⑴-⑵得us?ut?(s?t)d ?

us?uts?t

?d

小結：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等解：設?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列， 由已知條件，可知：a1=33, a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知數列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？

分析：由等差數列的定義，要判定?an?是不是等差數列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n解：當n≥2時, （取數列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數

∴{an}是等差數列，首項a1?p?q，公差為注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=pn+q (p、q是常數第3通項公

式

④判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3四、練習：

1.（1）求等差數列3，7，11，??的第4項與第10項.

分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公式，從而求出所求項.

解：根據題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. 評述：關鍵是求出通項公式.

（2）求等差數列10，8，6，??的第20項. 解：根據題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12, ∴a20=－2×20+12=－28.

評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.

（3）100是不是等差數列2，9，，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明

理由.

分析：要想判斷一數是否為某一數列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數n值，使得an等于這一數.

解：根據題意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此數列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數列的第15項. （4）－20是不是等差數列0，－3

12

，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，

12

說明理由. 解：由題意可知：a1=0,d=－3

令－

72

∴此數列的通項公式為：an=－

72

n+

72

,

n+

72

72

=－20,解得n=

72

477

因為－n+=－20沒有正整數解，所以－20不是這個數列的項.

2.在等差數列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12. 解：（1）由題意得：?

?a1?3d?10?a1?6d?19

,解之得：?

?a1?1?d?3

.

?a1?2d?9?a1?11（2）解法一：由題意可得：?, 解之得?

d??1??a1?8d?3

∴該數列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. Ⅳ.課時小結

五、小結 通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數列的定義及數學表達式：an－

an?1=d ，（n≥2，n∈N?）.其次，要會推導等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d，

并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q (p、q是常數)的理解與應用. 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：

篇二：高一數學等差數列第一課時教案

高一數學等差數列第一課時教案

3.2.1等差數列

教學目標

1．明確等差數列的定義．

2．掌握等差數列的通項公式，會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

3．培養(yǎng)學生觀察、歸納能力．

教學重點

1． 等差數列的概念；

2． 等差數列的通項公式

教學難點

等差數列“等差”特點的理解、把握和應用

教學方法

啟發(fā)式數學

教具準備

投影片1張(內容見下面)

教學過程

(I)復習回顧

師：上兩節(jié)課我們共同學習了數列的定義及給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數列的特點，下面看一些例子。（放投影片）

（Ⅱ）講授新課

師：看這些數列有什么共同的特點？

生：積極思考，找上述數列共同特點。

對于數列①an?n（1≤n≤6）；an?an?1?1（2≤n≤6）

對于數列②an?12-2n（n≥1）

an?an?1??2（n≥2）

n（n≥1） 5

1 an?an?1?（n≥2） 5對于數列③an?

共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數。

師：也就是說，這些數列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數列，我們把它叫做等差數。

一、定義：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3個數列都是等差數列，它們的公差依次是1，-2，

二、等差數列的通項公式

師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得。若一等差數列?an?的首項是a1，公差是d，則據其定義可得： 1 。 5

?a2?a1?d?(n?1)個等式?a3?a2?d

?a?a?dn?1?n

若將這n-1個等式相加，則可得：

a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

??

由此可得：an?a1?(n?1)d

師：看來，若已知一數列為等差數列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an。 如數列①an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6）

數列②：an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 數列③：an?11n?(n?1)??（n≥1） 555

由上述關系還可得：am?a1?(m?1)d

即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例題講解

例1：（1）求等差數列8，5，2?的第20項

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

解：（1）由a1?8,d?5?8?2?5??3

n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49

（2）由a1??5,d??9?(?5)??4

得數列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100項。

（Ⅲ）課堂練習

生：（口答）課本P118練習3

（書面練習）課本P117練習1

師：組織學生自評練習（同桌討論）

（Ⅳ）課時小結

師：本節(jié)主要內容為：①等差數列定義。

即an?an?1?d(n≥2)

②等差數列通項公式 an?a1?(n?1)d(n≥1)

推導出公式：an?am?(n?m)d

（V）課后作業(yè)

一、課本P118習題3.21，2

二、1．預習內容：課本P116例2—P117例4

2．預習提綱：①如何應用等差數列的定義及通項公式解決一些相關問題？

②等差數列有哪些性質？

板書設計

教學后記

篇三：高中數學等差數列教案

等差數列

教學目的：

1．明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式 教學難點：等差數列的性質 教學過程：

引入：① 5，15，25，35，?和 ② 3000，2995，2990，2985，? 請同學們仔細觀察一下，看看以上兩個數列有什么共同特征？？

共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等-----應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數列一個名字——等差數列 二、講解新課：

1．等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的

差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d

⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數列{an},若an－an?1=d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈N，則此數列是等差數列，d 為公?

2．等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】

?an?的首項是a1，公差是d，則據其定義可

得：a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d ??

由此歸納等差數列的通項公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項a如數列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6） 數列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 數列③

1234

;,;,1,?; an?1?(n?1)?1?n（n≥1） 5555555

由上述關系還可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d 即的第二通項公式 an?am?(n?m)d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d 三、例題講解

例1 ⑴求等差數列8，5，2?的第20項

⑵ -401是不是等差數列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4得數列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100例2 在等差數列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?(n?1)d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?小結：第二通項公式 an?am?(n?m)d

例3將一個等差數列的通項公式輸入計算器數列un中，設數列的第s項和第t項分別為us和ut，計算us?ut

s?t

解：通過計算發(fā)現(xiàn)us?ut的值恒等于公差

s?t

證明：設等差數列{un}的首項為u1，末項為un，公差為d，?us?u1?(s?1)d

?

?ut?u1?(t?1)d⑴-⑵得us?ut?(s?t)d ?

us?ut

?d s?t

(1) (2)

小結：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各解：設?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列， 由已知條件，可知：a1=33, a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知數列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？

分析：由等差數列的定義，要判定?an?是不是等差數列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n無關的常解：當n≥2時, （取數列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數

∴{an}是等差數列，首項a1?p?q，公差為

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=p n+q (p、q是常數3通項公式

④判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3四、練習：

1.（1）求等差數列3，7，11，??的第4項與第10項. 解：根據題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. （2）求等差數列10，8，6，??的第20項. 解：根據題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28. 評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.

（3）100是不是等差數列2，9，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 解：根據題意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此數列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數列的第15項.

（4）－20是不是等差數列0，－31，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 解：

2

由題意可知：a1=0, d=－31 ∴此數列的通項公式為：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2

2

2227

因為－7n+7=－20沒有正整數解，所以－20不是這個數列的項.

2

2

2.在等差數列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a1?1. 解：（1）由題意得：?a1?3d?10,解之得：???

?d?3?a1?6d?19（2）解法一：由題意可得：?a1?2d?9, 解之得?a1?11

??

?d??1?a1?8d?3

∴該數列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. Ⅳ.課時小結

五、小結 通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數列的定義及數學表達式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要會推導等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：an?am?(n?m)d和an=p n+q (p、q是常數)的理解與應用.

?

篇四：高中數學等差數列教案

課 題：2.2 等差數列（一）

教學目的：

1．明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式

教學難點：等差數列的性質

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

本節(jié)是等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函數的聯(lián)系，這樣就便于利用所學過的一次函數的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什么表示等差數列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數列(從幾何上看兩點可以決定一條直線教學過程：

一、復習引入：

上兩節(jié)課我們學習了數列的定義及給出數列和表示的數列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法和前n項和公式..看這樣一些例子:

2. 小明目前會100個單詞，他打算從今天起不再背單詞了，結果不知不覺地每天忘掉2個單詞，那么在今后的五天內他的單詞量逐日依次遞減為： 100，98，96，94，92①

3. 小芳只會5個單詞，他決定從今天起每天背記10個單詞，那么在今后的五天內他的單詞量逐日依次遞增為 5，15，25(轉載于: 在點 網:高中數學等差數列教案)，35，45 ②

請同學們仔細觀察一下，看看以上兩個數列有什么共同特征？？

·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等——應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數列一個名字——等差數列 二、講解新課：

通過練習2和3 引出兩個具體的等差數列，初步認識等差數列的特征，為后面的概念學習建立基礎，為學習新知識創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲。由學生觀察兩個數列特點，引出等差數列的概念，對問題的總結又培養(yǎng)學生由具體到抽象、由特殊到一般的認知能力。

(二) 新課探究

1、由引入自然的給出等差數列的概念：

如果一個數列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數，這個數列就叫等差數列, 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。強調： ① “從第二項起”滿足條件；

②公差d一定是由后項減前項所得；

③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數（強調“同一個常數” ）；

在理解概念的基礎上，由學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言，歸納出數學表達式：

an+1-an=d(n≥1)

同時為了配合概念的理解，我找了5組數列，由學生判斷是否為等差數列，是等差數列的找出公差。

1. 9 ，8，7，6，5，4，??；√ d=-1

2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74??；√ d=0.01

3. 0，0，0，0，0，0，??.; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，??；×

5. 1，0，1，0，1，??×

其中第一個數列公差<0, 第二個數列公差>0,第三個數列公差=0

由此強調：公差可以是正數、負數，也可以是0

2、第二個重點部分為等差數列的通項公式

在歸納等差數列通項公式中，我采用討論式的教學方法。給出等差數列的首項，公差d，由學生研究分組討論a4 的通項公式。通過總結a4的通項公式由學生猜想a40的通項公式，進而歸納an的通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學生的協(xié)作意識又化解了教學難點。

若一等差數列{an }的首項是a1,公差是d,

則據其定義可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

??

猜想: a40 = a1 +39d

進而歸納出等差數列的通項公式：

an=a1+(n-1)d

三、例題講解

例1 ⑴求等差數列8，5，2?的第20項

⑵ -401是不是等差數列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3

n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由a1??5,d??9?(?5)??4

得數列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100例2 在等差數列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，則

?a1??2?a1?4d?10??∴an?a1?(n?1)d?3n?5 ??d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?小結：第二通項公式 an?am?(n?m)d

例3 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等解：設?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列，

由已知條件，可知：a1=33, a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7

因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例4 已知數列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？

分析：由等差數列的定義，要判定?an?是不是等差數列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n解：當n≥2時, （取數列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數

∴{an}是等差數列，首項a1?p?q，公差為注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q.

nn式

④判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3四、練習：

1.（1）求等差數列3，7，11，??的第4項與第10項.

分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公式，從而求出所求項.

解：根據題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）

∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.

評述：關鍵是求出通項公式.

（2）求等差數列10，8，6，??的第20項.

解：根據題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,

∴a20=－2×20+12=－28.

評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.

（3）100是不是等差數列2，9，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.

分析：要想判斷一數是否為某一數列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數n值，使得an等于這一數.

解：根據題意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此數列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數列的第15項.

1，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是， 2

177說明理由. 解：由題意可知：a1=0,d=－3 ∴此數列的通項公式為：an=－n+, 222

7747令－n+=－20,解得n= 227

77因為－n+=－20沒有正整數解，所以－20不是這個數列的項. 22（4）－20是不是等差數列0，－3

2.在等差數列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d;

3912?a1?3d?10?a1?1解：（1）由題意得：?,解之得：?. a?6d?19d?3??1

?a1?2d?9?a1?11（2）解法一：由題意可得：?, 解之得? d??1a?8d?3??1

∴該數列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1

又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.

Ⅳ.課時小結

五、小結 通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數列的定義及數學表達式：an－

?（n≥2，n∈N）.其次，要會推導等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d，an?1=d ，

并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q (p、q是常數)的理解與應用.

六、課后作業(yè)：

七、板書設計（略）

八、課后記：

篇五：高中數學等差數列教案(二)

課 題：3.3 等差數列的前n項和（二） 教學目的：1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式.

2.了解等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題.

教學重點：熟練掌握等差數列的求和公式

教學難點：靈活應用求和公式解決問題

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

本節(jié)是在集合與簡易邏輯之后學習的，映射概念本身就屬于集合的

教學過程：

一、復習引入：

首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容：

1.等差數列的前n項和公式1：Sn?n(a1?an) 2

n(n?1)d 22.等差數列的前n項和公式2：Sn?na1?

3.Sn?d2dn?(a1?)n，當d≠0，是一個常數項為零的二次式 22

4.對等差數列前項和的最值問題有兩種方法:

（1） 利用an: 當an>0，d<0，前nan≥0，且an?1≤0，求得n當an<0，d>0，前nan≤0，且an?1≥0，求得n（2） 利用Sn：由Sn?d2dn?(a1?)n二次函數配方法求得最值時n22

二、例題講解

例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個數及這些元素的和.

解：由2n－1＜60,得n＜6161,又∵n∈N* ∴滿足不等式n＜的正整數一共有30個. 22

即 集合M中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1, a30=59,n=30的等差數列. ∵Sn=n(a1?an)30(1?59),∴S30==900. 22

答案：集合M中一共有30個元素，其和為900.

例2.在小于100的正整數中共有多少個數能被3除余2分析：滿足條件的數屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析題意可得滿足條件的數屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}

由3n+2＜100,得n＜322,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 3

即 在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2.

把這些數從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.

它們可組成一個以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數列.

由Sn=n(a1?an)33(2?98),得S33==1650. 22

答：在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2，這些數的和是1650.

例3已知數列?an?,是等差數列，Sn是其前n項和，

求證：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差數列；

⑵設Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?）成等差數列

證明：設?an?,首項是a1，公差為d

則S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)

?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d

S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d

?S6,S12?S6,S18?S12是以36d ∴∵

同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以kd為公差的等差數列.

三、練習：

1．一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式.

分析：將已知條件轉化為數學語言，然后再解.

解：根據題意，得S4=24, S5－S2=27

則設等差數列首項為a1,公差為d, 2

4(4?1)d?4a??241??2則 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：? ∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?

2．兩個數列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數列公差分別是d1, d2, 求x?x2????x7d1與1d2y1?y2????y6

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; 27d28

1?5＝21, 2 x1+x2+……+x7＝7x4＝7×

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴ x1?x2????x77＝. y1?y2????y66

3．在等差數列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數列{an}的前n項和SnSn 解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n?1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－], 22636

∴ 當|n－51|最小時，Sn最小， 6

即當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.

四、小結 本節(jié)課學習了以下內容：?an?是等差數列，Sn是其前n項和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?五、課后作業(yè)：

1．一凸n邊形各內角的度數成等差數列，公差是10°,最小內角為100°,求邊數n.

解：由(n－2)·180＝100n＋

2n(n?1)×10， 2求得n－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

當n＝9時, 最大內角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常數等差數列{an}的前n項和Sn滿足

10?m?3?2

解：由題設知 Sn2n(m?1)n2?mn(n∈N, m∈R), 求數列{a5n?3}的前n項和.

Sn＝lg(m

即 Sn＝[2?3?2n(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2, 55

∵ {an}是非常數等差數列，當d≠0，是一個常數項為零的二次式 (m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n, 55

3 則 當n=1時，a1＝lg3?lg2 5

21當n≥2時,an＝Sn－Sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝?nlg2?lg3?lg2 55

41∴an＝?nlg2?lg3?lg2 55

4 d=an?1?an=?lg2 5

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

11=?4nlg2?lg3?lg2 5

31lg2為首項,5d=?4lg2為公差的等差數列， ∴數列數列{a5n?3}是以a8=lg3?5∴

{a5n?3}的前n項和為

n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

3．一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27，求公差d.

解：設這個數列的首項為a1, 公差為d，則偶數項與奇數項分別都是公差為2d的等

?12a1?66d?354?32, 解得d＝5. 差數列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

解法2：設偶數項和與奇數項和分別為S偶，S奇，則由已知得

?S偶?S奇?354?S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5. 偶???S27奇?

4．兩個等差數列，它們的前n項和之比為5n?3, 2n?1

解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)S8. ??17?'173S17(b1?b17)2

5．一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110 解：在等差數列中，

S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差數列，∴ 新數列的前10項和＝原數列的前100項和，

10S10＋10?9·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.

6．設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，(1) 求公差d的取值范圍；

(2) 指出S1, S2, S3, ……, S1212?11?S?12a?d?0?2a?11d?01?122??1 解：(1) ?, 13?12a?6d?0?S13?13a1?d?0?1

2?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －<d<－3, 7?3?d?0

(2) S13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由S12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0, S6最大.

六、板書設計（略）

七、課后記：

  本文關鍵詞：高中數學等差數列教案，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：245766