發(fā)布時(shí)間：2017-08-20 12:25

  本文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析

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　　一、選用專業(yè)，學(xué)時(shí)及學(xué)分

　　本課程適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)；學(xué)時(shí)：276，學(xué)分：16學(xué)分，分三學(xué)期授課（第一、二、三學(xué)期）。

　　二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)

　　本課程是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門最重要的基礎(chǔ)課，授課時(shí)間最長。

　　通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握極限論，一元函婁數(shù)微積分學(xué)，無窮級數(shù)及多元函數(shù)微積分學(xué)方面的系統(tǒng)知識。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論，微分方程，微分幾何，概論論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，實(shí)變函數(shù)，數(shù)學(xué)模型等后續(xù)課程，也是為深入理解初等數(shù)學(xué)及從事中學(xué)數(shù)學(xué)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　三、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)

　　（一）  函數(shù)

　　 函數(shù)概念，函數(shù)的四則運(yùn)算，圖象、數(shù)列、函數(shù)的有界性、單調(diào)性，奇偶性，周期性，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)。

　　重點(diǎn)和難點(diǎn)：函數(shù)的概念與表示，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。

　　（二）  數(shù)列極限

　　極限思想、數(shù)列極限概念、收斂數(shù)列的性質(zhì)；唯一性、有界性、單調(diào)性，保號性、迫斂性；收斂數(shù)列的四則運(yùn)算，數(shù)列收斂的判別法；

 單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則；子數(shù)列及其收斂性。

　　重點(diǎn)和難點(diǎn)：數(shù)列極限概念，——N方法的運(yùn)用

　�。ㄈ�  函數(shù)極限

　　 X→∞時(shí)函f(X)的極限，X→a時(shí)函數(shù)f(X)的極限，單側(cè)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，函數(shù)極限存在判別法，

無窮小，無窮大，無窮小的比較。

　　重點(diǎn)和難點(diǎn)：函數(shù)極限概念，方法的運(yùn)用，柯西收斂準(zhǔn)則。

　�。ㄋ模�  連續(xù)函數(shù)

　　函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)性，間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；有界

性，最值性，介值性，一致連續(xù)性；連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的連續(xù)性。

　　（五）  實(shí)數(shù)的連續(xù)性

　　實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理：閉區(qū)間套定理，確界定理，有限復(fù)蓋定理，聚點(diǎn)定理，致密性定理，柯西收斂準(zhǔn)則；閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的

證明。

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：柯西收斂準(zhǔn)則，實(shí)數(shù)完備性定理的等價(jià)性。

　　（六）  導(dǎo)數(shù)與微分

　　引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例，導(dǎo)數(shù)概念；求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式；隱函數(shù)與參數(shù)議程求導(dǎo)法則；微分概念及運(yùn)算，近似運(yùn)算；高價(jià)導(dǎo)數(shù)與高階

微分。

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算，復(fù)合函數(shù)微分法。

　�。ㄆ撸�  微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用

　　微分中值定理；待定型計(jì)算的洛必達(dá)法則；泰勒公式；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用；單調(diào)性的判定，極限與最值，曲線凸凹性，拐點(diǎn)，

漸近性；函數(shù)圖象的描繪 

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：不定積分的概念與計(jì)算，第一換元積分法。

　�。ò耍�  不定積分

　　原函數(shù)與不定積分的的概念，基本初等函數(shù)的積分公式；換元積分法與分部積分；有理函數(shù)的積分法，三角函數(shù)及簡單無理函數(shù)的不

定積分。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：不定積分的要領(lǐng)概念與計(jì)算，第一類換元積分法。

　�。ň牛�  定積分

　　引出定積分概念的實(shí)例，定積分概念；可積準(zhǔn)則：可積必要條件，小和與大各，可積充要條件，三類可積函數(shù)；定積分性質(zhì)；定積分

的計(jì)算：積分的上限函數(shù)，定積分基公式，換元積分與分部積分法；定積分的應(yīng)用：微元法，平面面積，體積，弧長，旋轉(zhuǎn)曲面面積的

計(jì)算，定積分在物理上的應(yīng)用。

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分的概念，積分上限函數(shù)，定積分基本公式，微元法。

　�。ㄊ�  無窮級數(shù)

　　1、 數(shù)值級數(shù)：級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)及斂散性的判定；交錯級數(shù)，任意項(xiàng)級數(shù)，任意項(xiàng)級數(shù)，絕對

收斂，條件收斂。

　　2、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：函數(shù)級數(shù)的收斂域，一致收斂的概念與判定；函數(shù)列的一致收斂和函數(shù)的分析性質(zhì)。

　　3、 冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)各函數(shù)的分析性質(zhì)，泰勒級數(shù)，基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開，冪級數(shù)的應(yīng)用。

　　4、 付立葉級數(shù)

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)收斂法，函數(shù)級數(shù)一致收斂的概念與判定，冪級數(shù)收斂區(qū)間和函數(shù)求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展。

　�。ㄊ唬┒嘣瘮�(shù)微分學(xué)

 　　1、多元函數(shù)：平面點(diǎn)集，坐標(biāo)平面的連續(xù)性，多元函數(shù)的概念。

 　　2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)。

　　3、多元函數(shù)微分法：偏導(dǎo)數(shù)，全微分定義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)微分法，方向?qū)?shù)

　　4、高階導(dǎo)數(shù)與二元函數(shù)的泰勒公式。

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，多元復(fù)合函數(shù)的微分法。

（十二）隱函數(shù)的存在性定理及其應(yīng)用

　　1、 隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性定理，隱函數(shù)求導(dǎo)法則；隱函數(shù)組，隱函數(shù)組的存在性定理及求導(dǎo)法則。

　　2、 函數(shù)行列式及其性質(zhì)

　　3、 幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；條件極值。

　　重點(diǎn)與難點(diǎn)：隱函數(shù)存在性定理及求導(dǎo)法則。

（十三）廣義積分與含參變量積分

　　1、 無窮積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，無窮積分的性質(zhì)，無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ā?/p>

　　2、 瑕積分：瑕積分收斂與發(fā)散的概念，瑕積分?jǐn)可⑿缘呐卸ā?/p>

　　3、 含參變量的有限積分，含參變量的無窮積分，函數(shù)與函數(shù)。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：無窮積分、瑕積分收斂與發(fā)散的概念，判定。

（十四）重積分

　　1、 二重積分：引出二重積分定義的實(shí)例，二重積分的概念，性質(zhì)，二重積分的計(jì)算，二重積分的換元，曲面面積。

　　2、 三重積分：三重積分的定義，計(jì)算，換元及簡單應(yīng)用。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分的概念與計(jì)算，三重積分的換元。

（十五）曲線積分與曲面積分

　　1、 曲線積分：第一、二型曲線積分的概念與計(jì)算；格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

　　2、 曲面積分：第一、二型曲面積分概念與計(jì)算，奧高公式，斯托克斯公式。

　　3、 場論初步：梯度，散度，旋度。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：兩類曲線積分的概念及計(jì)算，格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

 

 

　　四、學(xué)時(shí)分配表

章節(jié)

主要內(nèi)容

各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配表

備注

講授

實(shí)驗(yàn)

討論

習(xí)題

課外

其它

小計(jì)

一

函數(shù)

6

 

 

4

 

 

10

 

二

數(shù)列極限

8

 

 

4

 

 

12

 

三

函數(shù)極限

12

 

 

4

 

 

16

 

四

連續(xù)函數(shù)

8

 

 

2

 

 

10

 

五

實(shí)數(shù)連續(xù)性

6

 

 

4

 

 

10

 

六

導(dǎo)數(shù)與微分

10

 

 

4

 

 

14

 

七

中值定理及導(dǎo)數(shù)運(yùn)用

16

 

 

8

 

 

24

 

八

不定積分

10

 

 

4

 

 

14

 

九

定積分

18

 

 

10

 

 

28

 

十

無窮級數(shù)

28

 

 

10

 

 

38

 

十一

多元函數(shù)微分學(xué)

20

 

 

8

 

 

28

 

十二

隱函數(shù)

10

 

 

4

 

 

14

 

十三

廣義積分與參量積分

8

 

 

6

 

 

14

 

十四

重積分

16

 

 

6

 

 

22

 

十五

線面積分

16

 

 

6

 

 

22

 

合計(jì)

192

 

 

84

 

 

276

 

 

　　五、教材與教學(xué)參考書

　　 [1]  華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 （第三版） 數(shù)學(xué)分析（上 、下冊），， 高等教育出版社， 2001.

　　[2]  江澤堅(jiān)、吳智全、周光亞編《數(shù)學(xué)分析》上下冊，人民教育出版社;

　　[3]  劉玉璉編《數(shù)學(xué)分析講義》上下冊，高等教育出版社;

　　[4]  謝惠民等編《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》(上、下冊),高等教育出版社2003;

　　 [5]  菲赫金爾茨《微積分教程》，人民出版社， 1956;

　　 [6]  周民強(qiáng)編著《數(shù)學(xué)分析》，上海科學(xué)技術(shù)出版社， 2003 ;

　　 [7]  波耶, 微積分概念史, 上海人民出版社, 1977;

　　 [8]  陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎、歐陽光中, 數(shù)學(xué)分析 (第二版), 高等教育出版社, 1983;

　　 [9]  柯朗、約翰 , 微積分和數(shù)學(xué)分析引論 , 科學(xué)出版社 , 1979.

　　[10] 方企勤、林源渠 ， 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材 , 北京大學(xué)出版社 ,1990.

　　 [11] 華羅庚, 高等數(shù)學(xué)引論, 科學(xué)出版社, 1963.

　　 [12] 吉米多維奇, 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集, 人民教育出版社, 1958.

　　[13] 克萊鮑爾, 分析中的問題與命題, 湖南師范學(xué)報(bào), 1984.

　　[14] 克萊因, 古今數(shù)學(xué)思想, 上海科學(xué)技術(shù)出版社, 1979.

　　[15] 菲赫金哥爾茨著《數(shù)學(xué)分析原理》第一、二卷，人民教育出版社;

　　[16] 常庚哲等編《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社， 2003 ;

本文編號：706635