本文選題：分岔和混沌 + 柱面幾何非線性��； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：單擺是一類典型的具有柱面特征的幾何非線性系統(tǒng),在非線性動力學(xué)中扮演著極為重要的角色。近年來,一類含有幾何非線性特征的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)SD振子的提出,由于其原創(chuàng)性得到業(yè)界人士的廣泛關(guān)注,此類系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確還原幾何非線性系統(tǒng)的本質(zhì)非線性特征。本研究旨在繼承和發(fā)展以SD振子為核心的幾何非線性原創(chuàng)理論,為工程中出現(xiàn)柱面幾何非線性提供原始的理論依據(jù)。柱面幾何非線性系統(tǒng)即具有柱面特征的幾何非線性系統(tǒng),是由兩類典型的幾何非線性力學(xué)模型傳統(tǒng)擺和SD振子耦合而成,具有無理型和三角函數(shù)型耦合的強(qiáng)非線性特征,展現(xiàn)了光滑和不連續(xù)的多穩(wěn)態(tài)動力學(xué)行為。本文通過建立一系列具有柱面特征的幾何非線性動力學(xué)模型,提出針對該系統(tǒng)的解析研究方法,完整展現(xiàn)系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為,精確描述其局部動力學(xué)特征;基于非線性動力學(xué)研究方法,揭示柱面幾何非線性系統(tǒng)的分岔和混沌等動力學(xué)現(xiàn)象,厘清柱面幾何非線性動力系統(tǒng)的全局分岔等大振幅運(yùn)動規(guī)律以及小振幅運(yùn)動下的共振響應(yīng)等局部動力學(xué)特征。主要內(nèi)容和成果如下:首先,基于SD振子構(gòu)建了旋轉(zhuǎn)SD振子力學(xué)模型,旋轉(zhuǎn)SD振子是由水平勻質(zhì)圓盤與一對端點(diǎn)固定的斜拉彈簧鉸接而成,是一類典型的柱面幾何非線性系統(tǒng)。在自由振動系統(tǒng)中,發(fā)現(xiàn)不連續(xù)系統(tǒng)具有連接標(biāo)準(zhǔn)鞍點(diǎn)和非標(biāo)準(zhǔn)鞍點(diǎn)的類異宿軌道;基于Hamilton函數(shù)得到類異宿軌道解析表達(dá)式,厘清了類異宿軌道具有的極限特征及其對應(yīng)的運(yùn)動規(guī)律。在強(qiáng)迫振動系統(tǒng)中,借助Melnikov方法數(shù)值分析了光滑系統(tǒng)中兩類同宿軌道對應(yīng)的混沌閾值;針對類異宿軌道提出廣義Melnikov方法,通過不等式放縮解析得到不連續(xù)系統(tǒng)的混沌閾值,應(yīng)用數(shù)值模擬驗(yàn)證了混沌閾值的準(zhǔn)確性。其次,建立了倒擺和旋轉(zhuǎn)SD振子耦合的旋轉(zhuǎn)擺力學(xué)模型,旋轉(zhuǎn)擺系統(tǒng)為典型的具有雙穩(wěn)態(tài)特征的柱面幾何非線性系統(tǒng)。由于傳統(tǒng)近似方法無法描述柱面幾何非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)的全局動力學(xué)行為即旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,我們通過旋轉(zhuǎn)擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)解析解形式及其分岔特性“雙叉形分岔”引入柱面近似系統(tǒng)刻畫其全局特征;基于平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和相同叉形分岔點(diǎn)建立了原系統(tǒng)和柱面近似系統(tǒng)參數(shù)之間的同胚映射;研究發(fā)現(xiàn)柱面近似系統(tǒng)成功描述了原系統(tǒng)的單擺,倒擺和雙穩(wěn)態(tài)等動力學(xué)行為且近似系統(tǒng)的奇異閉軌有解析解。在線性阻尼和簡諧外激勵聯(lián)合作用下,解析得到柱面近似系統(tǒng)混沌振動判據(jù)的表達(dá)式,借助數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。通過相同參數(shù)下理論分析和數(shù)值對比,發(fā)現(xiàn)原系統(tǒng)和近似系統(tǒng)具有相似的拓?fù)鋭恿W(xué)行為,尤其在分岔圖,周期解,混沌吸引子結(jié)構(gòu),混沌數(shù)值特征等方面具有較高的吻合度。再者,為呈現(xiàn)柱面幾何非線性旋轉(zhuǎn)擺系統(tǒng)的分岔和極限環(huán)特性,引入柱面非線性周期擾動項,建立了雙穩(wěn)態(tài)柱面幾何非線性非保守系統(tǒng)。隨擾動參數(shù)變化,非保守系統(tǒng)經(jīng)歷了豐富的動力學(xué)分岔,如叉形分岔、同異宿軌道轉(zhuǎn)遷、Hopf分岔、同宿軌道分岔、類同宿軌道分岔、周期軌道的鞍結(jié)分岔、Hopf-同宿軌道分岔、Hopf-周期軌道的鞍結(jié)分岔等。基于分岔理論和數(shù)值計算,厘清了非保守系統(tǒng)所有靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔的形成和演化過程以及給出對應(yīng)分岔區(qū)間和分岔曲線上的極限環(huán)類型、個數(shù)、位置及其穩(wěn)定性。揭示兩次周期軌道的鞍結(jié)分岔的形成過程即半穩(wěn)定極限環(huán)的形成過程,分別是由同宿軌道和平衡點(diǎn)特性引起;值得注意光滑非保守系統(tǒng)由于經(jīng)歷兩次周期軌道的鞍結(jié)分岔導(dǎo)致出現(xiàn)5個極限環(huán);發(fā)現(xiàn)第二類同宿軌道破裂產(chǎn)生兩個對稱的柱面極限環(huán)。最后,提出了具有雙穩(wěn)態(tài)特征的柱面幾何非線性參激擺系統(tǒng),該參激系統(tǒng)展現(xiàn)傳統(tǒng)參激擺和SD振子的耦合動力學(xué)特性。在小振幅運(yùn)動下,新參激系統(tǒng)可簡化為標(biāo)準(zhǔn)的馬休方程和SD振子方程的耦合,簡化系統(tǒng)保留原系統(tǒng)光滑和不連續(xù)的動力學(xué)特性。借助平均法得到了參激振動系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)關(guān)系,并用數(shù)值方法給出了光滑和不連續(xù)系統(tǒng)相應(yīng)周期解的分布,發(fā)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果與理論分析吻合。本研究刻畫了該系統(tǒng)的局部動力學(xué)特征,克服了傳統(tǒng)截斷方法非光滑的局限性�；诶碚摲治龊蛿�(shù)值驗(yàn)證相結(jié)合的方法,研究參激系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性,揭示了柱面幾何非線性參激系統(tǒng)的復(fù)雜周期和混沌動力學(xué)現(xiàn)象,如擺動周期解,旋轉(zhuǎn)周期解,擺動-旋轉(zhuǎn)周期解,擺動混沌解,旋轉(zhuǎn)混沌解,擺動-旋轉(zhuǎn)混沌解以及共存周期解和混沌解等。此外,簡單分析了三穩(wěn)態(tài)柱面幾何非線性旋轉(zhuǎn)擺系統(tǒng)的自由振動,發(fā)現(xiàn)其具有豐富的靜態(tài)分岔和非標(biāo)準(zhǔn)奇點(diǎn),如超臨界叉形分岔、亞臨界叉形分岔、鞍結(jié)分岔、同異宿軌道轉(zhuǎn)遷、尖點(diǎn)、類鞍點(diǎn)、切鞍點(diǎn)等。
[Abstract]:The pendulum is a typical nonlinear system with cylindrical characteristics, nonlinear dynamics plays a very important role. In recent years, the SD oscillator spring mass system comprising a class of nonlinear characteristics of the original, because of its widely concern in the industry, the system can accurately restore the geometric nonlinear characteristics of nature nonlinear system. The purpose of this study is to inherit and develop the original geometric nonlinear theory with SD oscillator as the core, to provide a theoretical basis for the original cylindrical geometry nonlinear engineering. Cylindrical geometry of non geometric nonlinear system linear system with cylindrical feature, is composed of two kinds of geometric nonlinear mechanics model of typical pendulum and SD coupled oscillator, nonlinear characteristic with irrational type and trigonometric function type coupling, revealed the steady-state kinetics for smooth and discontinuous as . through the establishment of a series of cylindrical feature geometric nonlinear dynamic model, puts forward the analytical approach of the system, complete show global dynamics of the system, the accurate description of the local dynamics; nonlinear dynamics research methods based on geometric nonlinear system in exposing the bifurcation and chaos of the cylinder, clarify the local dynamics characteristics the amplitude of the motion law of cylindrical geometry of nonlinear dynamical systems and global bifurcation of small amplitude motion under the resonance response. The main contents and results are as follows: firstly, based on constructed rotating SD oscillator model in SD oscillator, SD oscillator is composed of a rotating disk with a uniform level of endpoint cable-stayed spring hinges a cylindrical geometry is a typical nonlinear system. In the free vibration system, found that the discontinuous system has connected standard and non-standard saddle point Quasi class heteroclinic orbits of saddle point; Hamilton function class of heteroclinic orbits based on analytical expressions, clarify the motion characteristics and the corresponding class limit heteroclinic orbits with forced vibration. In the system, using Melnikov numerical method of chaotic threshold corresponding smooth systems with two types of persistent track analysis for different classes; the orbits of generalized Melnikov method, the inequality analytic chaos threshold of discontinuous systems, numerical simulation is used to verify the accuracy of the chaos threshold. Secondly, established the mechanical model of the inverted pendulum swing rotation and rotation of the SD oscillator coupling, rotating pendulum system for cylindrical geometry nonlinear bistable system has the typical characteristics. Because the traditional approximate method to describe the global dynamic behavior shows that the geometric nonlinear system for cylindrical rotary motion, we balance the pendulum system through the rotation point of the analytical form And "double bifurcation pitchfork bifurcation into cylindrical approximation system to describe the global characteristics of the original system; establish the stability of equilibrium and the same fork bifurcation point and cylindrical approximation based on homeomorphism mapping between the system parameters; the study found that the cylinder approximate system successfully describes the original system of the pendulum, inverted pendulum and bistable dynamics behavior and approximation the singular closed orbit analytic solution. The combined effect of incentive in linear damping and external harmonic, the analytic expression of a cylindrical approximation system of chaotic vibration criterion, using numerical simulation to verify the accuracy of theoretical analysis. Under the same parameters through theoretical analysis and numerical comparison, found that the original system and the approximate system with topological dynamics similarity in particular, bifurcation, periodic solution, structure of chaotic attractor, chaos has a high degree of agreement of numerical characteristics. Furthermore, to present several cylinder What non bifurcation and limit cycle characteristics of linear rotating pendulum system, the introduction of cylindrical nonlinear periodic perturbations, a non conservative system cylindrical geometric nonlinear bistability. With perturbation parameters, non conservative system has rich dynamics, such as pitchfork bifurcation, homoclinic and heteroclinic transition, Hopf bifurcation, homoclinic orbit bifurcation. Class of homoclinic orbit bifurcation, saddle node bifurcation of Hopf- periodic orbits, homoclinic orbit bifurcation, Hopf- periodic orbits of saddle node bifurcation bifurcation theory and numerical calculation. Based on clarifying the types of limit cycles of non conservative system formed all the static bifurcation and dynamic bifurcation and the evolution process and the corresponding bifurcation and bifurcation curves on the interval the number, location and stability. The formation process of the semi stable limit cycle of the saddle node bifurcation reveals two cycle orbits, are caused by homoclinic orbits and equilibrium characteristics; Note the smooth non conservative system for saddle node bifurcation through two periodic orbits lead to 5 limit cycles; found second types of homoclinic orbits rupture limit cycles to produce two cylindrical symmetry. Finally, put forward with bistable characteristics of cylindrical geometry nonlinear parametrically excited pendulum system, the parametric system show the coupling dynamics of the traditional parametrically excited pendulum and SD oscillator. In small amplitude motion, coupled parametric system can be simplified to the standard Mathieu equation and SD oscillator equation, simplified system retains the dynamical characteristics of the original system is smooth and discontinuous. The average method to get the vibration of frequency response relationship. The distribution of smooth and non periodic solutions of the corresponding continuous system is given by numerical method. The numerical results are consistent with theoretical analysis. This study describes the local dynamic characteristics of the system, to overcome the traditional cutting method of non light The limitations of the slide. Methods of theoretical analysis and numerical verification based on the combination of the global dynamics of a parametrically excited system, reveals the complex periodic and chaotic phenomenon of cylindrical geometric nonlinear parametric system, such as oscillating periodic solutions, periodic solutions of rotation, swing - rotation period solution and chaotic solution swing, rotation of the chaotic solution swing, rotation and chaotic solutions coexisting periodic solutions and chaotic solutions. In addition, a simple analysis of the free vibration of cylindrical geometry nonlinear steady-state three rotating pendulum system, we find that it has rich static bifurcation and non standard singularities, such as supercritical subcritical pitchfork bifurcation, pitchfork bifurcation, saddle node bifurcation, homoclinic and heteroclinic orbit transition, sharp point, saddle point, saddle point cut.

【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O322

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本文編號：1749508