本文關(guān)鍵詞：基于多項(xiàng)式插值逼近的分?jǐn)?shù)階偏微分方程高精度差分方法　出處：《東南大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：近幾十年來,由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有非局部性質(zhì),比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)更適合描述具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程.因此,分?jǐn)?shù)階微分方程更能準(zhǔn)確地刻畫許多自然界的現(xiàn)象,得到了越來越多的學(xué)者的關(guān)注.關(guān)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解法無論對(duì)工程技術(shù)領(lǐng)域還是對(duì)數(shù)學(xué)本身都具有重要的價(jià)值.本文主要是在超收斂點(diǎn)處對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程、多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程、時(shí)空分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程以及非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階四階反應(yīng)-擴(kuò)散方程等初邊值問題構(gòu)造數(shù)值解法,并給出相應(yīng)的理論分析.本文首先研究的是時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程的數(shù)值解法.對(duì)一維和二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程利用降階法得到等價(jià)的方程組,然后利用L2-1σ公式(Alikhanov,J.Comput.Phys.280(2015),424-438)對(duì)等價(jià)方程組建立時(shí)間方向二階精度,空間方向分別為二階和四階精度的有限差分格式.利用離散能量法,嚴(yán)格證明了格式在H1范數(shù)下的無條件穩(wěn)定性和收斂性.同時(shí)還給出了三維時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程的差分格式.數(shù)值算例驗(yàn)證了格式的計(jì)算精度和有效性.其次,對(duì)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程建立時(shí)間二階精度的有限差分格式.利用降階法得到等價(jià)方程組,再對(duì)方程組中的多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在其超收斂點(diǎn)處離散,從而對(duì)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程分別建立時(shí)間和空間方向都為二階精度的差分格式和時(shí)間二階、空間四階精度的差分格式.我們證明了兩個(gè)格式是唯一可解的,且在最大模下是無條件穩(wěn)定的和收斂的,收斂階分別為O(τ2 + h2)和O(τ2 + h4).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明格式的有效性,驗(yàn)證了差分格式的理論分析精度.隨后,討論了一維和二維時(shí)空分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程的差分方法.利用L2-1σ公式來離散時(shí)間分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù),分別應(yīng)用分?jǐn)?shù)階二階中心差分格式(C.Celik,M.Duman,J.Comput.Phys.231(2012),1743-1750.)和四階緊算子(X.Zhao,Z.Z.Sun,Z.P.Zhao,SIAM J.Sci.Comput.36(2014),A2865-A2886.)對(duì)空間分?jǐn)?shù)階Riesz導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近,從而對(duì)一維和二維Bloch-Torrey方程構(gòu)造有限差分格式.同時(shí)我們給出了分?jǐn)?shù)階二階中心差分算子的權(quán)系數(shù)和的下界的一個(gè)估計(jì)式.利用離散能量法以及權(quán)系數(shù)的下界估計(jì)式,我們對(duì)格式的穩(wěn)定性和收斂性給出了嚴(yán)格的理論證明.對(duì)二維問題,我們還給出了兩個(gè)ADI格式來求解方程.數(shù)值算例驗(yàn)證了差分格式的有效性.最后一部分考慮了非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階四階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的數(shù)值逼近.首先利用降階法,得到一個(gè)等價(jià)方程組,運(yùn)用L2-1σ公式對(duì)時(shí)間Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散,對(duì)空間整數(shù)階導(dǎo)數(shù)采用二階格式離散,進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)三層線性化的有限差分格式.利用離散能量法,我們給出了格式在L2模下的無條件穩(wěn)定性和收斂性的嚴(yán)格的理論證明,收斂階為O(τ2 +h12+h22).對(duì)于差分格式的收斂性證明是理論分析的一個(gè)難點(diǎn),我們主要應(yīng)用二維網(wǎng)格函數(shù)空間的一個(gè)嵌入定理給出了格式的收斂性分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了格式的理論分析的精度.
[Abstract]:In this paper , the finite difference scheme of time fractional order wave equation is established by means of discrete energy method . The numerical experiments show the validity of the format and verify the theoretical analysis accuracy of the difference scheme . Then , we discuss the difference method of the two - dimensional space - time fractional order ' s ( C . Celik , M . Duman , J . Comput . Phys . 231 ( 2012 ) , 1743 - 1750 . ) and the fourth - order compact operator ( X . Zhao , Z . Z . Sun , Z . P . Zhao , SIAM J . Sci . Comput . 36 ( 2014 ) , A2865 - A2886 . ) . In this paper , we give a rigorous theoretical proof for the stability and convergence of a two - dimensional finite difference scheme by using the discrete energy method and the lower bound estimation formula of the weight coefficients . The convergence of the difference scheme is a difficult problem for the theoretical analysis . We mainly apply one embedding theorem of the two - dimensional grid function space to give the convergence analysis of the format . The numerical experiments verify the accuracy of the theoretical analysis of the format .

【學(xué)位授予單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1364287