本文關(guān)鍵詞：具有兩階時(shí)間精度的時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的有限差分方法

  更多相關(guān)文章： 分?jǐn)?shù)階 非線性 有限差分格式 穩(wěn)定性 收斂性

【摘要】：近十幾年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程等領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用.當(dāng)今,人們已經(jīng)將其成功應(yīng)用于粘彈性材料,信號(hào)處理,流體力學(xué),生物學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域.越來(lái)越多的結(jié)論表明,分?jǐn)?shù)階微分方程在一些關(guān)于實(shí)際問(wèn)題建立的系統(tǒng)模型比整數(shù)階更加接近實(shí)際情況.故此分?jǐn)?shù)階微分方程的重要作用已經(jīng)越來(lái)越多的被人們所認(rèn)識(shí)到.而分?jǐn)?shù)階微分方程的穩(wěn)定性和收斂性的研究是分?jǐn)?shù)階微分方程理論研究的一個(gè)重要的分支,近年來(lái)也得到了學(xué)者們的重視,并且獲得了不少的研究成果.本文研究了具有二階時(shí)間精度的時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的有限差分方法.利用傳統(tǒng)的Grunwald-Letnikov公式在某個(gè)特殊的點(diǎn)(xi,tk-a/2)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的超收斂性,我們推導(dǎo)出方程的有限差分格式并在時(shí)間層上達(dá)到兩階精度.在空間層上,我們分別給出了二階的有限差分格式以及四階緊致差分格式.我們分別建立了一維和二維的時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的有限差分格式及其緊格式,并且給出了理論性分析.最后給出數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證該格式的可行性.第一章,介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷程以及分?jǐn)?shù)階微分方程研究的背景及意義,并給出了常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì).第二章到第四章,是本文的核心內(nèi)容.首先分別給出了關(guān)于一維和二維擴(kuò)散方程的有限差分格式及其緊致差分格式,格式主要利用在某些特殊點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的超收斂得出.對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),本文使用的是Riemann-Liouville時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).其次,給出有限差分格式后,我們使用能量的方法證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性.第二章討論的是一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的二階有限差分格式及其理論分析并給出具體算例驗(yàn)證；第三章討論的是一維擴(kuò)散方程的緊致差分格式；第四章討論的是二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的有限差分格式并給出其理論分析.第五章是對(duì)本次論文的總結(jié).
【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階 非線性 有限差分格式 穩(wěn)定性 收斂性
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要8-10
• 英文摘要10-12
• 第一章 引言12-17
• §1.1 分?jǐn)?shù)階微積分簡(jiǎn)介12
• §1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的定義及其主要性質(zhì)12-14
• §1.3 分?jǐn)?shù)階微分方程的研究背景及意義14-17
• 第二章 一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的有限差分格式17-35
• §2.1 差分格式的建立17-20
• §2.2 差分格式的理論分析20-30
• 2.2.1 穩(wěn)定性21-27
• 2.2.2 收斂性27-30
• §2.3 數(shù)值算例30-35
• 第三章 一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的緊致差分格式35-42
• §3.1 差分格式的建立35-36
• §3.2 差分格式的理論分析36-42
• 第四章 二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的的有限差分格式42-53
• §4.1 差分格式的建立42-44
• §4.2 差分格式的理論分析44-50
• 4.2.1 穩(wěn)定性44-47
• 4.2.2 收斂性47-50
• §4.3 緊致差分格式50-53
• 第五章 結(jié)論53-54
• 參考文獻(xiàn)54-57
• 致謝57-58
• 附件58

【相似文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：523037