物理上分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子被稱為分?jǐn)?shù)階擴散通量,用于刻畫列維飛行下粒子長距跳躍的反常擴散過程,它已經(jīng)成為近十年來分?jǐn)?shù)階偏微分方程的研究熱點.目前關(guān)于這類算子的數(shù)值方法有兩個重要挑戰(zhàn):處理超奇異核和求解無界區(qū)域下的積分.因此本文主要研究如下幾個方面的課題:1.對分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子采用Caffarelli-Silvestre延拓技巧,將非局部問題局部化,構(gòu)造有限元格式并考慮相應(yīng)的穩(wěn)定性和誤差估計;2.針對主值積分采用相應(yīng)的Hadamard有限部分積分,構(gòu)造有限元格式并分析求解.本文主要圍繞帶分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的Caputo型發(fā)展方程的有限元方法展開研究,主要分為以下幾個部分:第一章通過一維變量下隨機游走擴散模型直觀地描述微觀粒子運動過程,體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的物理意義,導(dǎo)出柯西主值分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)學(xué)定義.第二章首先介紹Caffarelli-Silvestre延拓思想,其次介紹第二類修正B essel函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),最后分析了延拓技巧下解的衰減性.第三章對分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子采用延拓技巧,時間離散采用Diethelm方法,考慮加權(quán)橢圓投影算子的誤差估計,構(gòu)造有限元全離散格式并分析了有限... 

【文章來源】：上海大學(xué)上海市 211工程院校

【文章頁數(shù)】：83 頁

【學(xué)位級別】：博士

【部分圖文】：

圖１．１每條彩線代表一只海鳥（ａ）西西里島利諾薩島海鳥捕食路線（ｂ）亞得里亞海特??雷米蒂群島海鳥捕食路線．??

：：零?Ｉ??等??圖１．１每條彩線代表一只海鳥（ａ）西西里島利諾薩島海鳥捕食路線（ｂ）亞得里亞海特??雷米蒂群島海鳥捕食路線．??左跳躍的概率是１－４考慮ｎ步跳躍后，兩列粒子群跳躍運動后所在的：ｔ軸位置??ｎ＋１??為々＝（丨－?－）Ａｘ，?／?＝?０，?±１，土２，…，且第ｚ？個節(jié)點的粒子數(shù)為ｍ丨（ｎ），顯然土?ｍｉ（ｎ）?＝?２Ｎｐ．??為了量化粒子的運動狀態(tài)，定義Ｗｚ．（／〇?＝?＾，顯然這樣的定義是滿質(zhì)量守恒的，??ｎ＋ｌ?ｎ＋１??即；￡?？加）＝１．因此很自然地刻畫ｎ步跳躍后粒子分布的期望為３＾ｉ）＝?Ｅ?％Ｍｉ（ｎ），方??ｉ＝－ｎ?ｉ＝—ｎ??ｎ＋ｌ??差為ｓＯ）?＝?２?－?無（”））２溝Ｗ．??ｉ＝－ｎ??首先考慮粒子任意時間Ａｒ內(nèi)每次僅能跳躍一個步長Ａ；ｃ的距離，令也就是??說粒子向左向右的跳躍概率相同為Ｌ如下圖１．２所示，??＾?Ｑ?＾?Ａ?＾??圖１．２粒子向左向右Ａｒ時間內(nèi)僅跳躍Ａｘ距離．??一步跳躍后，在第汁位置的粒子數(shù)的前后兩個時亥�。首兓瘽M足??？ｊ（ｎ?＋?１）?＝?＾ｕ；＿ｉ（ｎ）?＋?＾ｕ／＋ｉ（ｎ）

?（Ｌ１）??其中ｐ?ｉ?．菩為愛因斯坦擴散系數(shù)，顯然（１．１）式為經(jīng)典的一維擴散模型Ｗ?＝?Ｍｍ的離??散形式．圖１．３分別給出了實驗測量下的正常擴散現(xiàn)象與（１．１）式的數(shù)值仿真，可以看到??粒子的擴散滿足高斯分布．??圖１．４粒子向左向右Ａｒ時間內(nèi)可跳躍任意距離．??然而粒子的活力使得粒子在單位時間間隔心內(nèi)并不僅僅每次只跳躍一個步??長／＾的距離．如圖１．４，記粒子向左向右跳躍任意６認(rèn)＝０，±１，±２，．．．）區(qū)間的步長；＾；＾的??概率符合冪

【參考文獻(xiàn)】：
博士論文
[1]二維分?jǐn)?shù)階超擴散方程和非局部方程的數(shù)值算法[D]. 陳安.上海大學(xué) 2016
[2]三類分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有限元計算[D]. 趙振剛.上海大學(xué) 2011
[3]分?jǐn)?shù)階微分方程的有限元算法[D]. 鄭云英.上海大學(xué) 2011
[4]分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析與數(shù)值計算[D]. 鄧偉華.上海大學(xué) 2007



本文編號：3304399