發(fā)布時(shí)間：2020-11-09 19:10

　　 本文主要研究一些經(jīng)典系統(tǒng)與超系統(tǒng)的可積性.首先,利用對(duì)稱方法,我們研究了 0-齊次的2階,3階,5階標(biāo)量發(fā)展型超對(duì)稱方程,給出具有高階廣義對(duì)稱的所有方程.在超對(duì)稱互反變換和因變量變換下,絕大部分方程變?yōu)槲覀兪煜さ姆匠?它們是勢(shì)(potential)超對(duì)稱Modified Korteweg-de Vries(MKdV)方程,勢(shì)超對(duì)稱三階Burgers方程,勢(shì)超對(duì)稱五階MKdV方程,勢(shì)超對(duì)稱Fordy-Gibbons方程,超對(duì)稱Kawamoto方程.另外,我們還得到了 一個(gè)新的超對(duì)稱三階Harry Dym方程和一個(gè)新的超對(duì)稱五階Harry Dym方程,它經(jīng)超對(duì)稱互反變換后與勢(shì)超對(duì)稱五階MKdV方程相聯(lián)系.其次,我們討論了廣義Riemann方程的守恒律.尋找非線性偏微分方程的守恒律一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)物理研究中的重要議題.構(gòu)造了 N = 2的廣義Rieman-n方程的兩類包含任意函數(shù)的守恒律.通過(guò)特定的約化將這些結(jié)果推廣到著名的Gurevich-Zybin系統(tǒng),Monge-Ampere系統(tǒng),兩分量Hunter-Saxton方程以及超對(duì)稱Hunter-Saxton方程.我們將研究N = 2的方法推廣到一般情況,得到廣義Riemann方程的兩類包含任意函數(shù)的守恒密度.最后,基于Kupershmidt長(zhǎng)波擴(kuò)展方程的雙Hamilton結(jié)構(gòu),利用平方特征函數(shù)方法得到其譜問(wèn)題.不同于一般的譜問(wèn)題,它對(duì)譜參數(shù)的依賴并不是線性的.這種譜問(wèn)題可以嵌入到依賴于能量的Schrodinger譜問(wèn)題中.進(jìn)一步,得到了長(zhǎng)波擴(kuò)展方程的Mirua變換以及修正系統(tǒng).通過(guò)三哈密頓對(duì)偶方法我們構(gòu)造了兩個(gè)Camassa-Holm型系統(tǒng).
【學(xué)位單位】：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 引言
    1.1 選題背景及意義
    1.2 文章各部分的主要內(nèi)容
第二章 基礎(chǔ)知識(shí)
    2.1 互反變換
    2.2 對(duì)稱及其性質(zhì)
    2.3 雙Hamilton結(jié)構(gòu)
    2.4 Miura變換
    2.5 超對(duì)稱發(fā)展型方程的對(duì)稱
        2.5.1 超對(duì)稱變換
        2.5.2 超對(duì)稱可積系統(tǒng)的對(duì)稱
    2.6 超對(duì)稱可積系統(tǒng)的互反變換
第三章 0-齊次標(biāo)量發(fā)展型超對(duì)稱可積方程的分類
    3.1 背景介紹
    3.2 具有高階對(duì)稱的超對(duì)稱方程
        3.2.1 二階超對(duì)稱方程
        3.2.2 三階和五階方程的分類結(jié)果
    3.3 簡(jiǎn)化分類結(jié)果
        3.3.1 半線性方程
        3.3.2 擬線性方程
第四章 廣義Riemann方程的守恒律
    4.1 背景介紹
    4.2 N=2的廣義Riemann方程
    4.3 與N=2情形相關(guān)的系統(tǒng)
        4.3.1 Gurevich-Zybin系統(tǒng)和Monge-Ampere方程
        4.3.2 兩分量Hunter-Saxton方程
        4.3.3 超對(duì)稱Hunter-Saxton方程
    4.4 一般情形的守恒律
第五章 Kupershmidt長(zhǎng)波擴(kuò)展方程
    5.1 長(zhǎng)波擴(kuò)展方程的譜問(wèn)題
    5.2 Miura變換及其修正系統(tǒng)
    5.3 對(duì)偶系統(tǒng)
第六章 結(jié)論和展望
參考文獻(xiàn)
致謝
作者簡(jiǎn)介
附錄

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