隨著對剛性常微分方程初值問題的不斷深入研究,國內外學者給出了許多較為有效的特殊Runge-Kutta方法,主要包括對角隱式Runge-Kutta方法和Rosenbrock方法。函數(shù)擬合方法是一類在局部區(qū)間上用一個有理函數(shù)來近似地表示剛性常微分方程的解的方法,考慮在其解區(qū)間上構造指數(shù)擬合的函數(shù),來使得其近似逼近原方程的解曲線,其中比較有效和精確的算法是將Runge-Kutta方法與指數(shù)擬合相結合來處理剛性問題。同時,對于一類解可由集合{eiωx,e-iωx}或由集合{cos(ωx),sin(ωx)}(ω0)線性組合的一階常微分方程初值問題,可將三角擬合思想應用于Runge-Kutta方法上,來得到一類相比傳統(tǒng)方法來說更具優(yōu)勢的新方法。學者們將對角隱式Runge-Kutta方法結合指數(shù)擬合和三角擬合的研究已經做了較多的工作,而未見采用指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法,且Rosenbrock方法相對于對角隱式Runge-Kutta方法來說,具有更小的計算量,故本文將針對常微分方程初值問題這一模型,利用Rosenbrock方法結合指數(shù)擬合和三角擬合思想來得到一類在誤差和精度上具有更好的表現(xiàn)的方法。在第一章,介紹了關于剛性常微分方程初值問題的研究背景和國內外現(xiàn)狀,且給出了早期學者們對Rosenbrock方法的發(fā)展與改進。在第二章和第三章,構造了一類二級2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法,得到了定系數(shù)的二級2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法的具體格式,并證明了不存在此類三級3階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法。最后驗證了定系數(shù)的二級2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法是A-穩(wěn)定的。在第四章,利用數(shù)值實驗驗證了指數(shù)擬合Rosenbrock方法的有效性,主要應用了幾組不同的數(shù)值實驗來比較方法的收斂性和計算時間,通過實驗結果得到與理論基本一致的結論。在最后一章,主要是對本文做一個總結,并針對本文未涉及到的其它模型和方法給出了筆者后期的一些想法與計劃。
【學位單位】：華中科技大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.81
【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 剛性問題的研究背景
    1.2 指數(shù)擬合方法的國內外研究現(xiàn)狀
    1.3 Rosenbrock方法的國內外研究現(xiàn)狀
    1.4 本文研究內容
2 指數(shù)擬合Rosenbrock方法
    2.1 指數(shù)擬合Rosenbrock方法的構造
    2.2 指數(shù)擬合Rosenbrock方法
    2.3 穩(wěn)定性分析
3 三角擬合Rosenbrock方法
    3.1 三角擬合Rosenbrock方法的構造
    3.2 三角擬合Rosenbrock方法及其穩(wěn)定性
4 數(shù)值算例
5 總結與展望
致謝
參考文獻

【參考文獻】

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本文編號：2872072