粒子方法在過去幾十年間得到了巨大的發(fā)展,被用來研究偏微分方程的解。粒子方法最“自然”的應(yīng)用是在線性傳輸方程上,然而近年來這類方法也被用來處理對(duì)流擴(kuò)散方程以及一些其它非線性方程。本文主要介紹一些粒子方法來處理兩類偏微分方程,一類是非線性色散方程,一類是Vlasov型方程。本文首先研究一維空間上帶有三階非線性項(xiàng)的修正Camassa-Holm方程(m CH)解的適定性。與著名的Kd V方程類似,m CH方程是用來描述淺水波運(yùn)動(dòng)的方程。該方程是一個(gè)非線性色散方程,而且它是一個(gè)完全可積系統(tǒng),具有雙Hamiltonian結(jié)構(gòu)以及Lax對(duì)。由現(xiàn)有文獻(xiàn)可知,m CH方程的強(qiáng)解局部存在且唯一。對(duì)于許多光滑初值,此方程的強(qiáng)解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)有爆破行為。本文的主要目標(biāo)之一是研究如何去全局延拓爆破后的解,即m CH方程弱解的全局存在性。首先從m CH方程的一類特殊弱解——N-peakon解入手。peakon解軌道所滿足特征方程的向量場(chǎng)具有非Lipschitz性,這是由peakon之間有限時(shí)間內(nèi)碰撞所產(chǎn)生的。因此如何去全局延拓peakon解軌道是一個(gè)很自然的問題。受天體物理中粘性粒子模型的啟發(fā),本文針對(duì)m CH方程的弱解提出了一個(gè)粘性粒子模型,給出一個(gè)粘性粒子方法及其收斂性的證明。此粘性粒子方法可以給出全局粘性N-peakon解;對(duì)于一般的Radon測(cè)度初值,利用粘性粒子模型的平均場(chǎng)極限得到了m CH方程的一般全局弱解;證明了弱解在一類空間中的穩(wěn)定性,且提供了一些peakon弱解不唯一的例子。接下來針對(duì)m CH方程弱解的唯一性,本文給出了一種色散正則化方法。此方法與處理不可壓縮Euler方程的“渦旋泡”方法(Vortex blob method)類似。如上所述,m CH方程的peakon解軌道會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)碰撞,并造成其特征方程向量場(chǎng)的非Lipschitz性。為了得到唯一的全局N-peakon解,本文通過兩次磨光peakon軌道特征方程來給出m CH方程的一個(gè)色散正則化的系統(tǒng)。經(jīng)過磨光的特征方程是全局Lipschitz的,因此可以得到全局近似peakon軌道,且這些軌道相互之間不碰撞。利用這些近似軌道的極限,可以得到全局的peakon軌道,這些軌道全局Lipschitz且不會(huì)互相穿過。利用這些軌道可以構(gòu)造m CH方程的N-peakon解,然后可以通過一個(gè)平均場(chǎng)極限過程得到Radon測(cè)度初值時(shí)弱解的全局存在性。最后本文利用粒子方法研究了Rd空間上一類Vlasov型方程的弱測(cè)度值解。此Vlasov型方程帶有局部對(duì)齊力,是描述N個(gè)粒子的自組織行為模型——MotschTadmor(MT)模型的動(dòng)力學(xué)方程,即粒子個(gè)數(shù)無(wú)窮多時(shí)描述粒子密度函數(shù)的偏微分方程。MT模型為此Vlasov型方程提供了一個(gè)自然的粒子方法,不同于以上兩種粒子方法,該粒子的運(yùn)動(dòng)所滿足的常微分系統(tǒng)是二階的。對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng),本文研究了一個(gè)加權(quán)的MT模型和一個(gè)帶有“尾巴”項(xiàng)的模型的無(wú)條件成群行為。當(dāng)N趨于無(wú)窮大時(shí),本文得到了MT模型的動(dòng)力學(xué)方程的測(cè)度值解的全局存在性和穩(wěn)定性,并且證明了測(cè)度值解收斂到成群狀態(tài)。
【學(xué)位單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175.2
【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第1章 緒論
    1.1 課題背景及研究現(xiàn)狀
        1.1.1 非線性色散可積系統(tǒng)
        1.1.2 一類自組織成群模型
    1.2 本文主要工作及其結(jié)構(gòu)
第2章 用于修正Camassa-Holm方程的粘性粒子方法的全局收斂性
    2.1 引言
    2.2 粘性N-peakon解
    2.3 一個(gè)粘性粒子方法及收斂定理
        2.3.1 時(shí)空BV估計(jì)
        2.3.2 全局弱解和收斂定理
        2.3.3 解m(·,t)全變差的穩(wěn)定性
    2.4 弱解的唯一性及不唯一性
        2.4.1 解空間W2,1(R)中的穩(wěn)定性和唯一性
        2.4.2 peakon解不唯一的例子
    2.5 本章小結(jié)
第3章 關(guān)于修正Camassa-Holm方程的色散正則化
    3.1 引言
    3.2 色散正則化和N-peakon解
        3.2.1 色散正則化及弱一致性
        3.2.2 收斂定理
        3.2.3 極限常微分系統(tǒng)
    3.3 極限peakon解
        3.3.1 正則系統(tǒng)解的不碰撞
        3.3.2 2-peakon解
        3.3.3 有關(guān)三個(gè)peakon系統(tǒng)的討論
    3.4 本章小結(jié)
第4章 帶有局部對(duì)齊力的Vlasov型方程弱測(cè)度值解的全局存在唯一性
    4.1 引言
    4.2 帶有權(quán)重的MT模型
    4.3 一個(gè)粒子方法
        4.3.1 準(zhǔn)備工作
        4.3.2 弱測(cè)度值解的存在性和穩(wěn)定性
    4.4 測(cè)度值解的漸近行為
    4.5 本章小結(jié)
結(jié)論
參考文獻(xiàn)
攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的論文及其他成果
致謝
個(gè)人簡(jiǎn)歷

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