本論文研究的內(nèi)容屬于壓縮感知和凸幾何分析,這兩個方向存在緊密關(guān)系,尤其在集中不等式方面的研究尤為突出,并且他們在圖像處理,信息論和分析學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.本文主要致力于相位復(fù)原問題和Brunn-Minkowski型不等式的研究,這是壓縮感知理論和Brunn-Minkowski理論研究的熱點問題之一,內(nèi)容涉及相位復(fù)原問題,對偶Lp-Brunn-Minkowski理論中的一個極值問題,Orlicz差體以及徑向Blaschke-Minkowski同態(tài).從組合優(yōu)化到物理科學(xué),相位復(fù)原在衍射成像、X射線晶體學(xué)以及電子顯微鏡等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用.因此我們考慮相位復(fù)原問題:該問題可表示為yi=|ai,x|2,i=1,2,…,m,其中yi是已知的數(shù)據(jù),ai∈Rn是已知的設(shè)計向量以及x ∈ Rn是未知的.在第二章,對于該問題我們引入一個具體的算法:牛頓算法.簡而言之,獲得一個好的初始值基于截斷譜方法,更新迭代采用牛頓迭代步.我們證明了該算法在實數(shù)情況下具有二階收斂速度,并且對于大殘量問題也成立.本文在第三章研究了保體積仿射變換下的最大p-對偶表面積(0pn).并證明了,在假設(shè)1下,凸體的p-對偶表面積在仿射變換下達到最大當(dāng)且僅當(dāng)該凸體的p-對偶表面積測度在球面Sn-1上是迷向的,對于p-對偶表面積迷向凸體我們給出了相關(guān)結(jié)果,同時也得到了等周不等式及其相關(guān)性質(zhì).估計特殊凸體(如差體或者反射體)的體積是非常重要的,其中經(jīng)典的不等式就是關(guān)于差體的Rogers-Shephard不等式.受Hernandez Cifre和Yep-es Nicolas在[64]啟發(fā),第四章的興趣在于是否存在一個常數(shù)cφ,n0(僅依賴于維數(shù)n和φ),使得V([K+φ(-K)]*)/V(K*)有界?對上述問題我們給出否定的回答.并且給出了極體的Brunn-Minkowski型不等式.截面體對解Busemann-Petty問題起到至關(guān)重要的作用.Schuster在[97]引入了徑向Blaschke-Minkowski同態(tài),它是更一般的截面體算子.隨著Orlicz-Brunn-Minkowski理論的發(fā)展,第五章在Orlicz空間下,我們確立了關(guān)于徑向Blaschke-Minkowski同態(tài)的Brunn-Minkowski型不等式.最后我們也得到了一個體積差函數(shù)的Brunn-Minkowski型不等式.
【學(xué)位單位】：上海大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O178
【部分圖文】：

圖２．４．１?（ａ），（ｂ）和（ｃ）分別是ＷＦ，ＴＷＦ以及擬牛頓法５次迭代后的恢復(fù)圖??像??

ＴＷＦ．其中ＷＦ，ＴＷＦ己經(jīng)恢復(fù)３２０Ｘ１２８０像素大小的斯坦福主要四??彩色圖像．對每一種的著色板和衍射圖樣，Ｌ＝２１隨機模式的生成集編碼的??衍射圖案，然后恢復(fù)原始圖像．圖２４．１（ａ）－（ｃ）是５次ＷＦ，ＴＷＦ和擬牛頓法??迭代后恢復(fù)結(jié)果，其分別的相對誤差為１．４１３６１７，?０．１２４６３０和０．０１４０２５．可以看??出，擬牛頓方法恢復(fù)圖像要比ＷＦ，ＴＷＦ方法好，他們都需要更多的迭代獲??得圖像的滿意恢復(fù)．??結(jié)合擬牛頓法和梯度下降法的優(yōu)點，我們采用混合算法丨３禮即根據(jù)每??次迭代實驗的結(jié)果而決定采用擬牛頓法還是最速下降法．要求的準(zhǔn)則為??ｆ（＾ｋ）?－?ｆ（ｘｋ＋ｉ）?＞?ｉｆ（ｘｋ），?ｔ?ｅ?（０，１）．??如果滿足上述不等式，迭代采用擬牛頓法，否則使用最速下降法．一般ｔ?＝??０．２．這里我們先用混合算法與ＴＷＦ和擬牛頓算法進行比較，對上述的斯坦福??主要四彩色圖像恢復(fù)，經(jīng)過１０次迭代后的相對誤差分別為：０．００００９５，?０．０３８５５６??和０．００１２３６．其次我們從傅里葉強度測量（帶有Ｌ＝１６個面具的２Ｄ?ＣＤＰ）恢復(fù)??真實圖像．這個圖像（見圖２．４．２）是１９２０Ｘ１２８０像素的銀河星系．經(jīng)過１０次??迭代后
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本文編號：2844521