【摘要】：Toeplitz算子理論與物理、概率論、信息論和控制論等領域中的許多問題都有著密切的聯(lián)系。Toeplitz算子是除微分算子之外另一類非常重要的非自伴算子,并且是連接算子理論,函數(shù)論和Banach代數(shù)的重要紐帶。本文推進了多復變重調(diào)和Hardy空間上Toeplitz算子的研究,并且引入了對偶截斷Toeplitz算子,研究了與這種算子相關的代數(shù)問題,研究結果發(fā)現(xiàn)這兩類算子與Hardy空間,Bergman空間,Dirichlet空間,調(diào)和Bergman空間,調(diào)和Dirichlet空間上的Toeplitz算子的性質(zhì)存在巨大的差異。本文內(nèi)容分為六章。第一章,緒論。引入Hardy型調(diào)和函數(shù)空間和其上的Toeplitz算子,與經(jīng)典函數(shù)空間上的Toeplitz算子進行對比。第二章,我們給出了雙圓盤重調(diào)和Hardy空間上的兩個具有重調(diào)和符號的Toeplitz算子交換和半交換的充要條件,這些結論(已經(jīng)發(fā)表在Results in Mathematics,72(3):1473 1497,2017)與經(jīng)典Hardy空間、調(diào)和Bergman空間和調(diào)和Dirichlet空間情況完全不同,在Hardy空間上解析符號的Toeplitz算子一定交換和半交換,而對于調(diào)和Bergman空間和調(diào)和Dirichlet空間,解析符號的Toeplitz算子交換和半交換只有平凡的情況,但是在雙圓盤重調(diào)和Hardy空間上,兩個解析符號的Toeplitz算子不一定交換,并且存在非平凡的解析Toeplitz算子是交換的。第三章,我們引入對偶截斷Toeplitz算子。假設u是非常數(shù)的內(nèi)函數(shù),H~2是單位圓盤上的Hardy空間,(?)稱為模型空間。我們研究了定義在模型空間正交補(?)上的對偶截斷Toeplitz算子,(?)是一個調(diào)和函數(shù)空間,并且具有一種非對稱的結構,這個特點不同于調(diào)和Bergman空間和調(diào)和Dirichlet空間的結構。在Hardy空間上兩個Toeplitz算子乘積為零和為有限秩算子是等價的,在(?)情況完全不同,并且取決于u。我們給出了兩個對偶截斷Toeplitz算子乘積為零和為有限秩算子的充要條件,而且完全刻畫了兩個一般符號的對偶截斷Toeplitz算子半交換的條件,這些結論已經(jīng)發(fā)表在JMAA,461(1),929-946,2018。第四章,我們研究了對偶截斷Toeplitz算子的交換性。我們發(fā)現(xiàn)研究對偶截斷Toeplitz算子的交換性的問題可以約化為研究解析符號的對偶截斷Toeplitz算子的情況,解析符號的情況等價于Hardy空間上三個Hankel算子的混合交換的問題,這個問題本身具有一定的難度。最后我們給出了兩類解析符號的對偶截斷Toeplitz算子交換的條件。第五章,我們研究了幾類與對偶截斷Toeplitz算子相關的代數(shù),獲得了兩個短正合序列,其結論類似于單位圓盤Bergman空間正交補上的對偶Toeplitz算子的情形。此外,我們完全刻畫了以z為符號的對偶截斷Toeplitz算子的換位,發(fā)現(xiàn)換位中存在著大量的非對偶截斷Toeplitz算子。其結果與單位圓盤Hardy空間上的Toeplitz算子和截斷Toeplitz算子完全不同。我們還運用上述的結論研究了對偶截斷Toeplitz算子的Fredholm性和譜集的結構。第六章,我們對全文的結論進行歸納,尋找未解決問題的難點,展望下一步的研究工作。
【學位授予單位】：重慶大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O177

【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 Ling Hui KONG;Yu Feng LU;;Commuting Toeplitz Operators on the Hardy Space of the Polydisk[J];Acta Mathematica Sinica;2015年04期

2 劉元;丁宣浩;;重調(diào)和Hardy空間上的Toeplitz算子[J];中國科學:數(shù)學;2013年07期

本文編號：2803578