【摘要】：設G =(V,E)是一個圖,其中K = K(G)是圖的點集,,E=E(G)是邊集.G□H是圖G和H的笛卡爾乘積.稱D(?)V(G)是圖G的一個控制集,若V(G)\D中每個點都與D中至少一點相鄰.圖G的最小控制集中點的個數(shù)稱為控制數(shù),記作γ(G).一個函數(shù)f:V(G)→ {0,1,2}是一個羅馬控制函數(shù)(RDF),若每個賦值為0的點與至少一個賦值為2的點相鄰.一個羅馬函數(shù)f的權(quán)重定義為f(V(G))=∑u∈V G f(u).圖G的羅馬控制數(shù)γR(G)是圖G所有羅馬函數(shù)權(quán)重的最小值.設kk是一個正整數(shù),稱D D(?)V(G)是圖G的一個距離kk-控制集,若不在D中的點都與D中至少一點的距離不超過k.圖G最小距離kk-控制集中點的個數(shù)就是距離k-控制數(shù),記為γk(G).拓撲指數(shù)是圖論中不可忽視的研究內(nèi)容,它是可以用來描述有機化合物的物理化學特性的數(shù)學參數(shù).第一(M1)和第二(M2)Zagreb指數(shù)是源于共軛分子總π-電子能量研究的點度定義拓撲指數(shù),定義為M1=∑u∈V(G)d2(u)和M2=∑uv∈E(G)d(u)d(v).離心距離和是利用點離心率定義的一個拓撲指數(shù):ξd(G)=∑v∈V(G)-G(v)DG()其中點v在圖G中的離心率εG(v)是指v到G中其它點的最大距離,且DG(v)是v到圖G中其它點的距離之和.Harary指數(shù)是利用兩點距離定義的一個拓撲指數(shù):H(G)=1/2∑u∈V(G)∑v∈V(G)1/d(u.v),其中d(u,u)表示的是G中點u和v的距離.本文主要研究了關(guān)于控制數(shù)的Vizing猜想,以及(距離k-)控制數(shù)與上段中提到的拓撲指數(shù)之間的關(guān)系.第一章介紹了圖論術(shù)語和符號以及本文研究內(nèi)容的圖論背景.Vizing猜想是由Vizing在1963年提出的關(guān)于控制數(shù)的一個著名猜想,即對任意圖G和H都有γ(G□H)≥ γ(G)γ(H)成立.與Vizing猜想相關(guān)的不等式很少涉及羅馬控制數(shù),其中之一是由 Wu[Y.J.Wu,An improvement on Vizing's conjecture,Inform.Process.Lett.113(2013)87-88]得到的.本文第二章證明了 γR(G□H)≥γ(G)γ(H)+ 1/2min{γ(G),7(H)}在圖G或者圖H不是空圖時成立.這一結(jié)果不僅改進了由Wu得到的結(jié)果,并且在某些條件下優(yōu)于其他類似已有結(jié)果.AutoGraphiX(AGX)計算機系統(tǒng)是利用變鄰域搜索方法和數(shù)據(jù)分析方法尋找圖論猜想的一個軟件.這些猜想主要確定圖論中兩變量的四則運算的界,同時刻畫達到上下界的極值圖.本文第三章我們改正了一個關(guān)于控制數(shù)和平均離心率的Auto-GraphiX猜想,并給出了修改后的猜想的證明.另外得到了 n階樹T的γ(T)-ecc(T)的緊上界.Borovicanin[B.Borovicanin,B.Furtula,On extremal Zagreb indices of trees with given domination number,Appl.Math.Comput.276(2016)208-218]確定了給定控制數(shù)的樹的Zagreb指數(shù)的上界.在這一結(jié)果的啟發(fā)下,本文第四章用距離kk-控制數(shù)給出了 n階樹的Zagreb指數(shù)的上界,并且刻畫了相應的極值樹.同時得到了一個用n,k,△表示的樹的距離k-控制數(shù)的上界.最后利用已有的Harary指數(shù)與Zagreb指數(shù)的關(guān)系得到了給定距離kk-控制數(shù)的樹的Harary指數(shù)的上界,并刻畫了相應的極值圖.本文第五章確定了給定距離k-控制數(shù)的n階樹中具有最小離心距離和的樹,并且得到了若干離心距離和的緊界.
【學位授予單位】：安徽大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O157.5
【圖文】：

，Ｇ和ｉ？■的笛卡爾乘積圖（Ｃａｒｔｅｓｉａｎ邋ｐｒｏｄｕｃｔ邋ｇｒａｐｈ）邋Ｇ口丑丨ｕ邋ｅ邋Ｖ（Ｇ），邋Ｖ邋ｅ邐且兩個點ｈｕ＇）與0；，？／）相鄰邋邐或者ｕ＇邋＝邋？／且邋Ｖ（Ｇ）．對于文中出現(xiàn)的未定義的§１．２邐研究問題的背景逡逑所有研宄都圍繞著控制數(shù)問題展開，與圖論的起源類似，圖戲：國際象棋游戲．國際象棋發(fā)源地在印度，圖１．２．１呈現(xiàn)的際象棋的游戲規(guī)則，皇后可以在棋盤上橫向，縱向，對角線上空格位置（假設這些方向上的空格上沒有其他的棋子）？所以攻擊（或者控制）標號為“ｘ”的空格位置．１９世紀５０年代，考慮如下一＂ｔ＂有趣的問題，棋盤上最少要放置多少個皇后可皇后占據(jù)，或被皇后攻擊（或控制）？圖１．２．１中放置的六個皇，隨后被證實最少需要放五個皇后．這就是歷史上著名的五個Ｘ邐１邋ＩＸ—

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本文編號：2797525