【摘要】：本文首先引入了矩陣的冪零性多項(xiàng)式,刻畫了具有二次齊次冪零性多項(xiàng)式的矩陣,作為應(yīng)用,給出了這些矩陣是Druzkowski矩陣的充分必要條件.然后利用線性群的作用,給出了子空間可三角化的條件.最后,給出了判斷二元多項(xiàng)式環(huán)的非單自同態(tài)是否有非平凡固定元的一種構(gòu)造性方法.本文研究的問題來(lái)源于仿射代數(shù)幾何領(lǐng)域的幾個(gè)公開問題:雅可比猜想,Tame生成子問題,Zariski 消去問題.雅可比猜想已經(jīng)被化簡(jiǎn)到Druzkowski映射的情形.為了研究這類映射,Gorni等人引入了 D冪零矩陣,證明了 D冪零矩陣置換相似于嚴(yán)格上三角矩陣.為了構(gòu)造更具一般性的Druzkowski映射,我們引入了矩陣的冪零性多項(xiàng)式.設(shè)A是n階矩陣,f是n元多項(xiàng)式.如果對(duì)于每個(gè)以f的零點(diǎn)為對(duì)角線的對(duì)角矩陣D都有(DA)n = 0,則稱f是A的冪零性多項(xiàng)式.我們研究了具有冪零性多項(xiàng)式的矩陣——qd-冪零矩陣.第三章主要研究了矩陣的冪零性多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).我們首先證明了非D冪零的qd-冪零矩陣的冪零性多項(xiàng)式關(guān)于每個(gè)變量的次數(shù)均不大于1,而且任何兩個(gè)互素的冪零性多項(xiàng)式?jīng)]有共同的變量.然后利用主子式刻畫了 qd-冪零的矩陣,發(fā)現(xiàn)qd-冪零矩陣的大部分主子式都是0.最后證明了 qd-幕零矩陣的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形如下其中A11和A33是嚴(yán)格上三角矩陣,A22是既約的qd-冪零矩陣.因此,我們只需討論既約的qd-冪零矩陣.第四章主要研究具有二次冪零性多項(xiàng)式的矩陣A,證明了若A既約,則有置換矩陣P使得下列之一成立.(ⅰ)PTAP=DB,其中D是可逆對(duì)角矩陣,B是秩2反對(duì)稱矩陣,其左上角的3階主子塊除了對(duì)角元素其余元素全非零.(ⅱ)PTAP=(?),其中對(duì)角位置均為方陣,a ∈ {0,1},rankB ≥ 2,B既無(wú)零行又無(wú)零列,U是嚴(yán)格上三角矩陣,u,v,α,β都是行向量,且u,v的分量都不為零.最后給出了(ⅱ)形矩陣是Druzkowski矩陣的充分必要條件,證明了在某些條件下這樣的Druzkowski矩陣可線性三角化.三角自同構(gòu)是一類基本而重要的多項(xiàng)式自同構(gòu),對(duì)于描述自同構(gòu)的結(jié)構(gòu)有重要作用.多項(xiàng)式映射的線性三角化是認(rèn)識(shí)tame自同構(gòu)的一種途徑.Van den Essen等人證明了,若H的雅可比矩陣冪零,則多項(xiàng)式映射F = X +H可線性三角化等價(jià)于H的雅可比矩陣集合可同時(shí)三角化.這啟發(fā)我們從矩陣集合三角化的角度來(lái)考察多項(xiàng)式映射的三角化.第五章主要研究了線性群的作用和矩陣子空間的三角化.我們證明了,一個(gè)非單項(xiàng)矩陣的可逆矩陣與所有行列式為1的對(duì)角矩陣生成的子群中必含有平延,然后由此證明了,設(shè)矩陣子空間滿足可逆矩陣Q,只要Q不是相應(yīng)對(duì)角矩陣的行列式為1的單項(xiàng)矩陣,則S是冪零的,從而可三角化.第六章主要研究了二元多項(xiàng)式代數(shù)和二元自由結(jié)合代數(shù)A2上的非單自同態(tài)及其固定元,首先給出了 A2的非單自同態(tài)的一個(gè)分類,并且給出了判斷A2上非單自同態(tài)是否有非平凡固定元的方法.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O151.21

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本文編號(hào)：2694244