【摘要】：Moser-Trudinger不等式是一類很重要的不等式,它在幾何分析和偏微分方程解的存在性問題中有著廣泛的應(yīng)用。近二三十年來,Moser-Trudinger不等式及其相應(yīng)的極值問題已經(jīng)得到了廣泛的研究,取得了豐碩的成果。但是隨著帶奇點的Liouuille型方程爆破分析的發(fā)展,帶奇點的Moser-Trudinger 不等式和相應(yīng)的極值問題再一次成為了幾何分析與橢圓偏微分方程的一個研究熱點。最近很多數(shù)學(xué)工作者對Finsler-Laplacian(各向異性的拉普拉斯)方程和Finsler-Liouville型方程展開了研究,在方程的正則性理論和爆破分析理論方面取得了很大的進展,為研究各向異性Moser-Trudinger 不等式提供了 理論基礎(chǔ)和研究動機�；谝陨匣A(chǔ),本文主要研究了帶各向異性范數(shù)的Moser-Trudinger不等式和一類帶奇點的Moser-Trudinger不等與其相關(guān)泛函極大值函數(shù)的存在性,并取得了相應(yīng)的結(jié)果。本文的具體內(nèi)容可概括如下:第一章簡要介紹了本文的研究背景以及Moser-Trudinger不等式的研究進展,同時介紹了本文的主要研究內(nèi)容。第二章介紹了本文相關(guān)的預(yù)備知識,包括各向異性函數(shù)F(x)的性質(zhì)以及相關(guān)各向異性Laplacian方程的正則性理論。第三章主要研究R2中Wullf球上各向異性Moser-Trudinger不等式與極值問題。我們利用爆破分析、水平集方法和凸對稱重排方法證明了各向異性Moser-Trudinger不等式和極大值函數(shù)的存在性。第四章主要研究R中有界區(qū)域上各向異性Moser-Trudinger不等式與其極大值函數(shù)的存在性。由于區(qū)域的一般性,第三章中的重排方法不再適用。為此,我們建立了各向異性P.Lions引理,從而為爆破分析提供了理論基礎(chǔ),并且完成了定理的證明。第五章主要研究高維無界區(qū)域Rn上各向異性Moser-Trudinger不等式與相其極大值函數(shù)的存在性。我們利用第四章有界區(qū)域上的極大值函數(shù)的存在性結(jié)果構(gòu)造了所考慮問題的極大化函數(shù)列,再借助各向異性Green函數(shù)的漸近展開式和爆破分析技巧,證明了高維無界區(qū)域Rn上各向異性Moser-Trudinger不等式和極大值函數(shù)的存在性結(jié)果。第六章主要研究二維區(qū)域上帶多個奇點和余項的Moser-Trudinger不等式與相關(guān)極值問題的極大值函數(shù)的存在性。使用奇點的定位技巧,我們證明了二維有界區(qū)域上帶多個奇點和余項的Moser-Trudinger不等式與相關(guān)極值問題的極大值函數(shù)的存在性結(jié)果。
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O178

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本文編號：2671139