【摘要】：經(jīng)典薛定諤算子-△+V的研究起源于非相對性量子力學.經(jīng)過半個多世紀的深入發(fā)展,薛定諤算子已成為數(shù)學研究的核心對象,其不僅有豐富的理論研究內(nèi)容,而且在調(diào)和分析、偏微分方程及微分幾何等眾多領(lǐng)域有著廣泛的聯(lián)系和應(yīng)用.尤其近二十年來,薛定諤算子的色散估計在非線性薛定諤方程解的適定性和散射理論的研究中扮演著不可缺少的角色.作為二階薛定諤算子的自然推廣,本文主要探討四階薛定諤算子△2 + V.它的研究在非線性四階薛定諤方程、梁方程以及共形幾何等學科中有重要應(yīng)用.具體地,在文中我們系統(tǒng)地研究四階薛定諤算子△2 + V的各種色散估計,其中包括Kato-Jensen估計、局部衰減估計、Lp-衰減估計和Strichartz等估計,同時也探討了一般高階薛定諤算子的嵌入特征值問題.最后作為應(yīng)用,我們研究了非線性四階薛定諤方程解的散射問題.本文共分為六章:在第一章中,我們概述研究問題的背景及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并簡要介紹本文的主要工作及相關(guān)預(yù)備知識和一些記號.在第二章中,我們建立四階薛定諤算子△2 +V的預(yù)解算子R(△2 + V;z)的低能漸進估計和高能衰減估計,即在加權(quán)Sobolev空間Hσs(Rd)中,當z → 0時,預(yù)解算子的漸進行為;以及當z → ∞時,預(yù)解算子的衰減估計.利用預(yù)解算子估計,通過極限吸收推出算子△2 + V的譜密度dE(λ)在λ → 0時的漸進性態(tài)和λ → ∞時的衰減估計.在第三章中,在預(yù)解算子估計的基礎(chǔ)上,我們證明薛定諤群eit(△2+V)的局部衰減估計和Kato-Jensen估計.在最后一節(jié)中,從局部衰減估計出發(fā),利用交換子方法,我們建立了四階薛定諤傳播子eit(△2+V)的Kato-Jensen型逐點估計.在第四章中,利用局部衰減估計和Kato-Jensen估計,我們進一步建立了eit(△2+V)的 Strichartz 估計和 L1 ∩ L2 → L∞ + L2 的衰減估計(Ginibre 型估計).在維數(shù)d = 3時,我們得到了 L1(R3)→ L∞(R3)的衰減估計.在第五章中,我們研究高階薛定諤型算子P(D)+ V的嵌入特征值問題,其中P為m階齊次橢圓多項式.一方面,對于某些高階微分算子P(D),我們能夠構(gòu)造位勢函數(shù)V∈C0∞(Rd),使得P(D))+ 存在正特征值嵌入到其連續(xù)譜中.另一方面,利用Virial等式,我們建立了一個高階算子P(D)+ V不存在嵌入特征值的位勢判別準則.在第六章中,我們研究非線性四階薛定諤方程iut +(△2 + V)u + λ|u|p-1u = 0,(t,x)∈ R × Rd,u(0,x)= u0(x),在能量空間H2(Rd)中的散射問題.利用已建立的Strichartz估計,我們首先建立方程的全局適定性.其次在維數(shù)d ≥ 7時,利用Morawetz估計,我們得到了該方程在能量空間中散射的結(jié)果.
【學位授予單位】：華中師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O175.3;O413

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本文編號：2630180