【摘要】：現(xiàn)如今,反問(wèn)題的研究已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)、物理、工程等各個(gè)領(lǐng)域.由于反問(wèn)題在應(yīng)用中的重要性,其理論在過(guò)去幾十年中得到了廣泛的發(fā)展.微分方程中的系數(shù)項(xiàng)通常與被建模的系統(tǒng)的物理屬性相關(guān).在簡(jiǎn)單的情況下,這些物理屬性可以直接從實(shí)驗(yàn)所獲得的數(shù)據(jù)中識(shí)別出來(lái).在復(fù)雜情況下,難以或不可能直接測(cè)量與模型方程中系數(shù)相關(guān)的物理屬性,只能通過(guò)間接測(cè)量與解相關(guān)的數(shù)據(jù)或附加信息來(lái)確定微分方程中的系數(shù),這種問(wèn)題稱(chēng)為微分方程系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題.本文主要研究了微分方程系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題中的兩類(lèi)問(wèn)題:第一類(lèi)是將曲線或曲面視為待定系數(shù)的微分方程的解,通過(guò)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)重構(gòu)滿足要求的微分方程的系數(shù).曲線曲面造型和設(shè)計(jì)中的傳統(tǒng)方法可以構(gòu)造出光滑且高精度的曲線和曲面.但是,在許多應(yīng)用中,曲線和曲面不僅需要滿足幾何設(shè)計(jì)的要求,而且還需要滿足一些與切矢條件相關(guān)的物理特性.為了達(dá)到此要求,本文選擇基于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)或離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及切矢來(lái)重構(gòu)一階線性微分方程,進(jìn)而用該方程的解去表示曲線或曲面.第二類(lèi)是基于附加條件的拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題.拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題已成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)領(lǐng)域之一.雖然在這方面已有很多研究成果,但在理論及數(shù)值算法上還有許多問(wèn)題需要深入研究.特別對(duì)拋物型微分方程中多個(gè)系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題的研究尚不充分.本文考慮了兩個(gè)同時(shí)確定拋物型微分方程中兩個(gè)系數(shù)的問(wèn)題.本文主要工作如下:1基于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)或離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及切矢信息重構(gòu)一階微分方程,使得該微分方程的解曲線或曲面能夠擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)或數(shù)據(jù)點(diǎn)及切矢.為了便于曲線或曲面表示,需要考慮具有顯式解的微分方程.(1)第二章討論了基于給定離散數(shù)據(jù)點(diǎn)重構(gòu)一階線性常系數(shù)微分方程的反問(wèn)題.在曲線或曲面擬合和逼近中,若數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)選擇不當(dāng)會(huì)造成擬合或逼近精度較差,為了避免曲線擬合和逼近中的參數(shù)化所引起的這類(lèi)問(wèn)題,提出了基于給定離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向量重構(gòu)微分方程系數(shù)矩陣的模型和相應(yīng)的算法,并對(duì)算法進(jìn)行了理論分析:己知解曲線上若干精確的數(shù)據(jù)點(diǎn),當(dāng)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的集合“不退化”時(shí),由本章的算法重構(gòu)的微分方程的系數(shù)矩陣是唯一的.進(jìn)一步,討論了用本章的算法重構(gòu)的系數(shù)矩陣與精確的系數(shù)矩陣之間的誤差的界.數(shù)值算例驗(yàn)證了該算法的有效性.(2)第三章為適應(yīng)于一般曲線或曲面的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及切矢,提出了基于齊次變系數(shù)微分方程重構(gòu)曲線或曲面的方法.首先,考慮了具有特定形式的微分方程,使其具有顯式解的表達(dá)式,并滿足解曲線或曲面的末端插值條件.本文提出了基于可對(duì)角化微分方程擬合曲線或曲面的方法,并給出了相應(yīng)的算法,該算法重構(gòu)的曲線曲面能夠滿足末端插值條件.進(jìn)一步,對(duì)于同時(shí)包含解曲線或曲面的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及切矢的情況,提出了基于齊次變系數(shù)微分方程的擬合模型.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本章算法及模型的有效性.(3)第四章依據(jù)非齊次微分方程與解曲線曲面的指數(shù)表示之間的關(guān)系,提出了基于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)重構(gòu)非齊次微分方程的算法,該算法重構(gòu)的曲線或曲面滿足末端插值條件,并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本章算法的有效性.2基于附加條件的拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問(wèn)題的研究(1)第五章考慮了帶熱流條件和定點(diǎn)條件的拋物型微分方程中僅依賴時(shí)間變量的兩個(gè)系數(shù)的重構(gòu)問(wèn)題,建立了該問(wèn)題解的存在唯一性條件.同時(shí)還提出了一種通過(guò)變換用差分法和優(yōu)化方法求解該問(wèn)題的數(shù)值方法.數(shù)值算例顯示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且對(duì)含噪數(shù)據(jù)具有一定的魯棒性.(2)第六章考慮了帶Dirichlet邊界條件和積分條件的拋物型微分方程中僅依賴時(shí)間變量的兩個(gè)系數(shù)的重構(gòu)問(wèn)題,建立了該問(wèn)題解的存在性和唯一性條件.同時(shí)還提出了一種用優(yōu)化方法和差分法迭代求解該問(wèn)題的數(shù)值方法.在該數(shù)值方法中,用B樣條函數(shù)來(lái)逼近未知系數(shù),并提出了一種可以自適應(yīng)地同時(shí)選擇待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中兩個(gè)B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)的方法.數(shù)值算例顯示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且對(duì)含噪數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的魯棒性.
【圖文】：

逡逑圖３．８，最大數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合誤差見(jiàn)圖３．９，最大切矢擬合誤差見(jiàn)圖３．１０．逡逑r>逡逑５２邋＾邐＾邋ｅｘａｃｔ邋ｔａｎｇｅｎｔ邐ｌ逡逑來(lái)邋ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｄａｔａ邋ｂｙ邋Ｐ４邋ｍｏｄｅｌ邐Ｖ逡逑邐＾－ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｔａｎｇｅｎｔ邋ｂｙ邋Ｐ４邋ｍｏｄｅｌ邐１逡逑４３邋－邐0邋ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｄａｔａ邋ｂｙ邋Ｐ３邋ｍｏｄｅｌ邐＼邋－逡逑邐＾－ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｔａ

逡逑有１４１個(gè)點(diǎn)２．圖３．１７和圖３．１８給出了用算法３．４及Ｂ樣條擬合的曲線，，最大擬合誤差見(jiàn)逡逑表邋３＿７＿逡逑Ｓａｍｐｌｅ邋ｐｏｉｎｔｓ逡逑＼邐．邐－邋－邋Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ邋３．４逡逑１２０邋—邐；邋ｌ邋Ｉ邋ｌ
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O241.81

【參考文獻(xiàn)】

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1 楊軍;曾曉明;;Loop細(xì)分曲面精確求值新公式[J];計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào);2007年07期

2 黃德生,關(guān)鵬,周寶森;SIR模型對(duì)北京市SARS疫情流行規(guī)律的擬合研究[J];疾病控制雜志;2004年05期

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本文編號(hào)：2623316