【摘要】：20世紀(jì)以來(lái)科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展發(fā)展,自然界中各種錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象充滿(mǎn)著神秘性,愈發(fā)激發(fā)了人們?nèi)ゲ粩嗵剿髌浔举|(zhì),于是促使非線(xiàn)性科學(xué)得以產(chǎn)生并蓬勃發(fā)展。非線(xiàn)性系統(tǒng)與線(xiàn)性系統(tǒng)相比而言,非線(xiàn)性系統(tǒng)能夠更好、更形象、更精準(zhǔn)地描述自然現(xiàn)象,也能夠更接近現(xiàn)象的本質(zhì)。非線(xiàn)性問(wèn)題一直存在于自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域,非線(xiàn)性偏微分方程是非線(xiàn)性科學(xué)領(lǐng)域中占有重要地位的一個(gè)研究領(lǐng)域,其中孤子理論是非線(xiàn)性偏微分方程研究的一個(gè)重要方向�？茖W(xué)家們往往把對(duì)自然科學(xué)和工程應(yīng)用的深入研究歸納為對(duì)非線(xiàn)性偏微分方程的研究,其中對(duì)非線(xiàn)性偏微分方程的求解是一個(gè)重要而又復(fù)雜的問(wèn)題,迄今為止我們都很難確定一種十分有效的求解精確解的方法,于是如何獲得非線(xiàn)性發(fā)展方程的解便為研究非線(xiàn)性問(wèn)題的首要任務(wù),同時(shí)數(shù)學(xué)上的解析解和如何同物理意義聯(lián)結(jié)起來(lái)也是一個(gè)值得探討的很有意義的問(wèn)題。早在1834年由英國(guó)科學(xué)家Russell發(fā)現(xiàn)了孤立波現(xiàn)象,近二十多年來(lái)該現(xiàn)象引起了人們的極大關(guān)注,科學(xué)家們于是對(duì)該現(xiàn)象展開(kāi)了深入的研究。該現(xiàn)象之所以會(huì)引起學(xué)者們?nèi)绱舜蟮呐d趣一方面是因?yàn)楣铝⒆泳哂辛Ｗ雍筒ǖ脑S多性能,在自然界中有一定的普遍性,利用孤立子理論也成功地解釋了許多物理上長(zhǎng)期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象;而另一方面隨著孤立子物理問(wèn)題的深入研究,孤立子的數(shù)學(xué)理論也應(yīng)運(yùn)而生,并已初步形成比較完善的理論體系,學(xué)者們正在努力將這套較為完善的理論體系應(yīng)用到能與之結(jié)合起來(lái)的物理現(xiàn)象中。Poincare開(kāi)創(chuàng)性地使用定性思路和幾何的方法來(lái)從微分方程的本身去探究解的性質(zhì)。我們知道,如果所研究的微分方程是線(xiàn)性的,那么用一些常見(jiàn)的辦法,如Laplace變換或者級(jí)數(shù)解的辦法就可以得到線(xiàn)性方程的解析解,也就是說(shuō),所研究的微分方程的解是可以用數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)的。然而如果所研究的微分方程是非線(xiàn)性的,那么一般情況下我們是得不到它的解析解的,不過(guò)我們能借助一些輔助手段來(lái)研究非線(xiàn)性解析解問(wèn)題。其中一種辦法就是利用數(shù)值近似的方法。近幾十年來(lái),尤其隨著計(jì)算機(jī)的普及以及一些功能強(qiáng)大的計(jì)算軟件的出現(xiàn),以往讓學(xué)者們頭疼的非線(xiàn)性微分方程的數(shù)值解問(wèn)題變得更加容易解決了,其性質(zhì)也很容易從所得到的解和圖像中看出。但是在很多應(yīng)用問(wèn)題中,如生物、化學(xué)及物理等自然科學(xué)中有很多由非線(xiàn)性微分方程描述的模型,此時(shí)解析解是很難求解得到的,那么我們感興趣的問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)系統(tǒng)所具有的整體性質(zhì)的探討,即我們所說(shuō)的定性理論。比如說(shuō),系統(tǒng)是否存在解析解;解的個(gè)數(shù)問(wèn)題;系統(tǒng)是否存在周期解等等。因此在研究非線(xiàn)性發(fā)展問(wèn)題時(shí)動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論的研究是重要的且必須的。本文的研究研究主要包括:(1)首先,運(yùn)用幾何分支理論和動(dòng)力系統(tǒng)定性理論研究了一個(gè)MS方程的動(dòng)力行為并通過(guò)應(yīng)用新的輔助函數(shù)方法、橢圓函數(shù)法以及最簡(jiǎn)方程方法得到了它的一些新的精確解。我們首先通過(guò)一個(gè)行波變換,將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,然后畫(huà)出軌線(xiàn)圖,通過(guò)動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)理論判別平衡點(diǎn)和解的類(lèi)型,得到孤波解和橢圓函數(shù)周期解等類(lèi)型精確解。(2)其次,運(yùn)用幾何分支理論和動(dòng)力系統(tǒng)定性理論研究了一個(gè)Zhiber Shabat方程的動(dòng)力行為并通過(guò)應(yīng)用ITEM方法(該方法是2015年由Manafian新提出的求解非線(xiàn)性方程解析解的方法)和拓展的sine-cosine方法得到了它的一些新的有物理意義的精確解。我們首先通過(guò)一個(gè)行波變換,將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,然后畫(huà)出軌線(xiàn)圖,通過(guò)動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)理論判別平衡點(diǎn)和解的類(lèi)型,得到孤波解和橢圓函數(shù)周期解等類(lèi)型精確解。(3)最后,我們研究了非線(xiàn)性領(lǐng)域一種新的現(xiàn)象——畸形波。我們主要以第二類(lèi)KP方程為例,通過(guò)雙線(xiàn)性變換,運(yùn)用同宿呼吸子極限法求得KP方程的呼吸子解,然后對(duì)其取周期極限,得到畸形波解。綜上所述,本文主要結(jié)合非線(xiàn)性方程的精確解的若干構(gòu)造方法以及計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算的輔助,跨學(xué)科地分析了在光通信和流體力學(xué)等領(lǐng)域中具有重要研究?jī)r(jià)值的一些非線(xiàn)性發(fā)展方程,包括對(duì)它們的動(dòng)力系統(tǒng)的分析和解的性質(zhì)的研究以及解與相圖之間的對(duì)應(yīng)性。同時(shí)本文還研究了一種近期出現(xiàn)在海上的新的物理現(xiàn)象——畸形波,并應(yīng)用相關(guān)方法求得了在物理上有很好的意義的一類(lèi)方程的畸形波解。本文中用到的研究方法,也可以應(yīng)用到其它物理上或者工程上若干復(fù)雜的非線(xiàn)性模型的研究上。同時(shí)對(duì)于文中得到的研究結(jié)果,作者希望能為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供一些理論上的幫助。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：北京郵電大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O175

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2360102