本文選題：Helmholtz傳輸特征值 + 混合有限元法��； 參考：《貴州師范大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：Helmholtz傳輸特征值問(wèn)題由于在材料科學(xué)有著重要的應(yīng)用,一直都是數(shù)學(xué)和力學(xué)界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題,很多學(xué)者傾其精力于它的數(shù)值處理上。該問(wèn)題的困難在于它是一個(gè)非橢圓且非對(duì)稱的方程,無(wú)法用傳統(tǒng)的特征值分析方法直接求解。在該研究領(lǐng)域中,Cakoni、Monk和Sun提出了一個(gè)新穎的變分公式,并對(duì)此方法對(duì)應(yīng)的有限元逼近做了誤差分析。同時(shí),Yang、Bi、Li和Han將Ciarlet-Raviart混合元法應(yīng)用于該問(wèn)題并取得理想效果。由于混合元法對(duì)于重調(diào)和方程有廣泛的應(yīng)用,能夠降低空間自由度,提高計(jì)算效率,因此混合元法的研究有重要價(jià)值。本文從理論角度出發(fā),參考多個(gè)學(xué)者的研究方法和成果,對(duì)傳輸特征值問(wèn)題提出了相應(yīng)的混合計(jì)算方法,依靠特殊論證證明了方法的正確性和可行性,達(dá)到研究的預(yù)期效果。首先,我們將Cakoni等人提出的公式與Ciarlet-Raviart混合元結(jié)合起來(lái),提出一個(gè)新的混合變分公式。因?yàn)槠錈o(wú)法直接利用經(jīng)典特征值理論,我們依靠?jī)蓚�(gè)正則性估計(jì)來(lái)證明混合變分公式根的存在性及唯一性,并給出對(duì)應(yīng)的共軛問(wèn)題。然后證明變分問(wèn)題和離散問(wèn)題的解算子都是緊算子,為收斂性的證明做準(zhǔn)備工作。隨后,我們定義特殊的拉格朗日插值算子和紐曼投影算子,運(yùn)用插值理論,證明該問(wèn)題有限元解的收斂性,進(jìn)而推出離散問(wèn)題的解算子收斂于變分問(wèn)題的解算子�；谠摻Y(jié)論,我們即可依托特征值經(jīng)典理論來(lái)說(shuō)明有限元混合變分公式所得特征值和特征函數(shù)的收斂性,達(dá)到期望的結(jié)果。在文章的最后,我們對(duì)該方法的收斂階進(jìn)行了探討,通過(guò)特殊的論證方法,本問(wèn)題的收斂階可得到進(jìn)一步的提高,直接說(shuō)明此方法的可行性和高效性。
[Abstract]:The Helmholtz transport eigenvalue problem has been a hot issue in mathematics and mechanics because of its important applications in material science. Many scholars have devoted their attention to its numerical treatment. The difficulty of this problem is that it is a non-elliptic and asymmetric equation and can not be directly solved by traditional eigenvalue analysis method. In this field, Cakonione Monk and Sun have proposed a new variational formula, and the error analysis of the finite element approximation corresponding to this method has been made. At the same time, the Ciarlet-Raviart mixed element method is applied to the problem and the ideal results are obtained. Because the hybrid element method is widely used in the biharmonic equation, it can reduce the degree of freedom in space and improve the computational efficiency, so the study of the hybrid element method is of great value. In this paper, from the theoretical point of view and referring to the research methods and achievements of many scholars, the corresponding hybrid calculation method for the transmission eigenvalue problem is proposed. The correctness and feasibility of the method are proved by special demonstration, and the expected results of the study are achieved. First, we combine Cakoni's formula with Ciarlet-Raviart mixed element, and propose a new mixed variational formula. Because it can not directly use classical eigenvalue theory, we use two regularity estimates to prove the existence and uniqueness of the root of mixed variational formula, and give the corresponding conjugate problem. Then it is proved that the solution operators of the variational problem and the discrete problem are compact operators, which are prepared for the proof of convergence. Then, we define the special Lagrange interpolation operator and Newman projection operator, prove the convergence of the finite element solution of the problem by using interpolation theory, and then deduce that the solution operator of the discrete problem converges to the solution operator of the variational problem. Based on this conclusion, we can use the classical theory of eigenvalue to illustrate the convergence of eigenvalues and eigenfunctions of finite element mixed variational formulas, and achieve the desired results. At the end of the paper, we discuss the convergence order of this method. Through a special demonstration method, the convergence order of this problem can be further improved, which directly shows the feasibility and efficiency of this method.
【學(xué)位授予單位】：貴州師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：2116586