本文選題：分數階拉普拉斯算子 + 臨界指數�。� 參考：《南京師范大學》2015年博士論文

【摘要】：分數階拉普拉斯問題可以用來描述物理學、生物學、化學、金融經濟、概率等領域中的許多重要現(xiàn)象.特別地,在概率的觀點下,分數階拉普拉斯算子被視為穩(wěn)態(tài)Levy擴散過程的無窮小生成元.因此,分數階拉普拉斯微分方程解的相關問題研究目前已成為非線性分析領域的熱門研究方向之一在本論文中,我們利用非線性分析中的臨界點理論和變分約化等方法研究了兩類具有臨界指數的分數階橢圓方程解的存在性、多重性及分數階非線性Schrodinger方程解的存在性和集中性,獲得了一系列新的結果.具體包含以下四章內容：在第一章中,我們利用Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann籌數理論研究了一類具有臨界指數的分數階非線性Schrodinger方程.證明了方程在兩種不同情形下具有基態(tài)解和catΛδ(Λ)個非平凡解.在第二章中,我們利用變分擾動方法研究了分數階非線性Schrodinger方程解的存在性及集中性.設合理的假設下,證明了所得解集中在函數г(x)的臨界點.我們所得結果推廣了文獻[36]和[44]的結果.在第三章中,我們研究了一類分數階非線性橢圓方程的多峰解,其中Q(x)為正的連續(xù)有界函數.利用 Lyapunov-Schmidt變分約化方法得到,對任意的正整數七,方程具有一個七-峰的正解,且其集中在Q的嚴格局部極小點處.我們把文獻[65]的結果推廣到了分數階情形.最后,我們利用調和擴展技術和臨界點理論,研究了一類具有臨界指數的非齊次分數階Laplacian司題,證明了此類問題至少具有兩個正解.同時,在一類線性正型區(qū)域上,我們獲得了一個正解的不存在性結果.此結論推廣了文獻[85]中的不存在性結果.
[Abstract]:Fractional Laplace problem can be used to describe many important phenomena in physics, biology, chemistry, financial economy, probability and so on. In particular, in the view of probability, fractional Laplace operator is regarded as infinitesimal generator of steady-state Levy diffusion process. Therefore, the research on the solutions of fractional Laplacian differential equations has become one of the hot research directions in the field of nonlinear analysis. By using the critical point theory and variational reduction in nonlinear analysis, we study the existence, multiplicity, existence and centrality of solutions for two classes of fractional elliptic equations with critical exponents. A series of new results were obtained. In the first chapter, we study a class of fractional nonlinear Schrodinger equations with critical exponents by using Nehari manifold method and Ljusternik-Schnirelmann number theory. It is proved that the equation has a ground state solution and a nontrivial solution of cat A 未 (A) in two different cases. In chapter 2, we study the existence and centrality of solutions of fractional nonlinear Schrodinger equations by using variational perturbation method. Under reasonable assumptions, it is proved that the solution is concentrated at the critical point of the function. Our results extend the results of references [36] and [44]. In chapter 3, we study the multimodal solutions of a class of fractional nonlinear elliptic equations, where QX) is a positive continuous bounded function. By using the Lyapunov-Schmidt variational reduction method, it is obtained that for any positive integer 7, the equation has a positive solution of a seven-peak, and it is concentrated at the strictly local minimum of Q. We extend the results of [65] to the fractional order case. Finally, by using harmonic expansion technique and critical point theory, we study a class of nonhomogeneous fractional Laplacian problems with critical exponents, and prove that these problems have at least two positive solutions. At the same time, we obtain a nonexistence result of positive solutions in a class of linear positive domains. This conclusion generalizes the nonexistent results in [85].
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.25

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本文編號：1842327