本文選題：平均場倒向隨機微分方程　切入點：平方增長　出處：《山東大學》2015年碩士論文

【摘要】：自Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[1]首次引入平均場倒向隨機微分方程以后,這類方程便受到廣泛關(guān)注。Du,Li和Wei[2]考慮了一維帶連續(xù)系數(shù)的平均場倒向隨機微分方程。學者們發(fā)現(xiàn)此類方程同偏微分方程、隨機控制以及隨機微分對策等不同領域中的問題聯(lián)系緊密(可參見[1],[3],[4],[5])。然而,在以往的工作中,對方程生成元的假設均較強。在本文中,我們首先證明當終端有界時,生成元在不同假設下,平方增長的平均場倒向隨機微分方程解的存在性。另一方面,經(jīng)典的平均場倒向隨機微分方程都是基于自然信息流的(由布朗運動生成),本文還考慮了一類關(guān)于一般信息流的平均場倒向隨機微分方程。因此,論文內(nèi)容主要可分為兩個部分。第一部分：我們討論了在不同假設下的一維平方增長的平均場倒向隨機微分方程M=(?)+(?)tT E'[f(s,Y's,Ys,Za)]ds-(?)tT ZadWs,0≤t≤T (1)解的性質(zhì),這里“平方增長”主要是指生成元.f(t,y’,y,z)關(guān)于z平方增長。由于終端值∈無界的情形較為復雜且不易處理,因此,我們對方程(1)的討論均是在終端值有界的框架下進行的。第一,我們證明了當生成元f連續(xù)且關(guān)于y’單調(diào)遞增、關(guān)于y超線性增長、關(guān)于z二次增長時,|f(t,y'y,z)|≤l(y)+C|z|2,其中l(wèi)為一函數(shù)類中的嚴格正值連續(xù)函數(shù),(1)存在最大有界解。由于平方增長的平均場倒向隨機微分方程結(jié)構(gòu)的特殊性,我們利用指數(shù)變換法,通過考慮其相應等價方程解的存在性來研究方程(1)的解。我們選取了一列連續(xù)函數(shù)序列去逼近等價方程的生成元,這與以往利用Lipschitz函數(shù)序列逼近的方法有所差別。同時,我們得到在此類假設下,方程(1)亦有相應的比較定理,比較定理對后面的推廣起到了關(guān)鍵作用。第二,我們證明了若生成元f關(guān)于y滿足單調(diào)性條件,(f(t,y',y,z)-f(t,y',0,z))y≤μy2對某常數(shù)μ≥0,以及關(guān)于z平方增長且|f(t,y',y,z)|≤(?)(|y|)+A|z|2對某連續(xù)非遞減函數(shù)(?):R+→R+及常數(shù)4≥0,此時方程(1)存在一最大有界解。第三,我們得到了一個一般性的結(jié)果。當生成元f(t,y',y,z)關(guān)于y’單調(diào)遞增、關(guān)于(f’,y)線性增長以及關(guān)于z二次增長時,|f(t,y',y,z)|≤C(1+|y'|+|y|+|z|2),方程(1)存在一最大有界解。第二部分：本文推廣了一類關(guān)于一般信息流的平均場倒向隨機微分方程,形式如下Yt=(?)+(?)和tTE'[f(s,Y's,Ys)]ds-(MT-Mt), (2)其中M為關(guān)于該信息流適應的“右連左極”鞅。我們考慮生成元f滿足如下假設：(M1)E[(?)0T|f(t,0,0)|2]∞;(M2)存在常數(shù)G0,使得對所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4, |f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|,P-a.s.；(M3)存在兩正值、確定性函數(shù)u(t),u(t),使得對所有的(y1,y2,z1,z2)∈R4，，|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤u(t)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|,P-a.s.,其中(?)0T[u(t)+u(t)]dt+∞；(M4)存在常數(shù)C0,使得(y1-y2)(f(t,y'1,y1)-f(t,y'2,y2))≤C|y1-y2|2,P-a.s.；(M5)f(t,y',y)關(guān)于y’,y連續(xù),且存在一正值確定性函數(shù)A(t),使得對所有的y',y∈R, |f(t,y',y)|≤A(t),pa.8.其中(?)0TA(s)ds∞。我們分別證明了當生成元.f滿足假設條件(M1)+(M2),(M1)+(M3), (M1)+(M4)+(M5)時,(2)在S2×M2空間存在唯一解。最后,在此基礎上,我們又討論了一類帶反射的平均場倒向隨機微分方程,形如并得到當生成元.f滿足假設(M1)和(M2)時,(3)存在唯一解。
[Abstract]:Since the first introduction of the average field inversion stochastic differential equation from Buckdahn , Djehiche , Li and Peng Li 1 , this kind of equation is widely concerned . Du , Li and Wei Yan 2 have considered the average field inversion stochastic differential equation with the continuous coefficient of one dimension . On the other hand , the classical mean field inversion stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . On the other hand , the classical mean field inverse stochastic differential equation is based on the existence of the solution of the stochastic differential equation . This paper studies the solution of equation ( 1 ) by considering the existence of equation ( 1 ) . For a continuous non - decreasing function ( ? ) : R + 鈫

本文編號：1727703