本文選題：平均曲率流　切入點：辛曲面　出處：《中國科學技術大學》2017年博士論文

【摘要】：本文著重研究平均曲率流及相關的若干問題.主要內容包括:研究了CP2中辛曲面的平均曲率流的收斂性,證明了CP2中滿足一定曲率拼擠條件的辛平均曲率流收斂到CP1,并給出了CP2中曲率積分拼擠條件下辛平均曲率流的收斂性定理;研究了歐氏空間中高余維自收縮子的無跡第二基本形式A的間隙現(xiàn)象,得到了在平均曲率處處非零或平均曲率適當有界的條件下一些曲率積分拼擠定理,還證明了關于A的逐點拼擠條件下自收縮子的剛性定理;研究了外蘊曲率拼擠條件下的Myers型定理,以平均曲率流為工具證明了歐氏空間中全曲率有限的超曲面的緊致性定理;以及用Yamabe流證明了局部共形平坦黎曼流形的緊致性定理.本文主要由四部分內容組成(第三章至第六章).第三章研究了CP2中辛曲面的平均曲率流的收斂性.我們可以利用平均曲率流將Kshler曲面中的辛曲面形變?yōu)槿兦�,但是關于辛平均曲率流解的長時間存在性及收斂性的結果卻不多.陳-李-田[25]證明了如果辛曲面是個圖,則辛平均曲率流的長時間解存在,且收斂到全純曲線.韓-李[50]證明了在具有正數(shù)量曲率的Kshler-Einstein曲面中,如果初始曲面充分接近于全純曲線,那么辛平均曲率流長時間解存在,且收斂到全純曲線.在第三章中,我們證明了在CP2中,如果初始辛曲面滿足適當?shù)那势磾D條件,那么沿平均曲率流,辛曲面會越來越全臍,且收斂到全臍曲面CP1.這個結果是對韓-李-楊[52]結果的細化.我們還給出了曲率積分拼擠條件下CP2中辛平均曲率流的收斂性定理.第四章研究了自收縮子的拼擠現(xiàn)象.自收縮子在平均曲率流的研究中有著重要的地位,它是平均曲率流的第一類奇點模型,又作為平均曲率流在奇點處的切流而出現(xiàn).Abresch-Langer[2],Huisken[46,47],Colding-Minicozzi[32]等研究了余一維自收縮子的幾何分類,Smoczyk[75]研究了平均曲率處處非零且單位化平均曲率向量平行的任意余維自收縮子與球面中極小子流形的關系.Le-Sesum[58]和曹-李[17]得到了具有多項式體積增長的自收縮子關于第二基本形式A的條件|A|2 ≤ 1/2下的分類定理,丁-忻[34]證明了曲率積分拼擠條件下完備的自收縮子的間隙定理.成-彭[28]證明了Rn+p中滿足sup|A|21/2的完備自收縮子等距于歐氏空間.第四章中,我們研究了自收縮子關于無跡第二基本形式A的間隙現(xiàn)象,證明了Rn+p(n ≥ 3)中具有多項式體積增長的完備自收縮子,如果其平均曲率處處非零,且‖A‖nC(n),那么它等距于Sn((?)).去掉多項式體積增長的條件,我們證明了在平均曲率向量H適當有界的條件下曲率積分拼擠定理.另外,我們還證明了在逐點曲率拼擠條件下自收縮子的一些剛性結果.第五章主要關注外蘊曲率拼擠條件下子流形的Myers型定理.文獻[7,8,35]證明了空間形式中平行平均曲率向量的子流形的緊致性定理.我們證明了對于歐氏空間中的完備超曲面,如果第二基本形式有界,平均曲率有嚴格大于零的一致下界,且無跡第二基本形式A的Lq(≥ 2)范數(shù)有界,那么這個超曲面是緊致的.我們用反證法來證明這個結果,證明過程主要利用平均曲率流去形變超曲面.第六章研究了局部共形平坦黎曼流形的緊致性.我們證明了,對于Yamabe常數(shù)為正的局部共形平坦完備黎曼流形,如果Ricci曲率有上界,數(shù)量曲率有正下界,且無跡Ricci曲率Rc的LQ(q≥ 2)范數(shù)有界,那么該黎曼流形是緊致的.與第五章類似,我們用Yamabe流來證明定理.
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【學位授予單位】：中國科學技術大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O186.1

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本文編號：1714738