本文關(guān)鍵詞： Liouville可積性 哈密頓系統(tǒng) 齊次多項式勢能 哈密頓函數(shù) 首次積分　出處：《上海交通大學(xué)》2015年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要研究具有齊次勢能的三個自由度的哈密頓系統(tǒng)的多項式可積性。具有齊次勢能的m自由度的哈密頓系統(tǒng)是由哈密頓函數(shù)確定的,其中勢能函數(shù)V(q1,…,qm)是k次齊次多項式或一個k次齊次多項式的逆。因為哈密頓函數(shù)本身就是哈密頓系統(tǒng)的一個首次積分,在m個自由度情形下,根據(jù)劉維爾完全可積定理可知,若存在另外(m-1)個與哈密頓函數(shù)H相互獨(dú)立的且對合的首次積分,那么哈密頓方程是完全可積的。原方程可以通過這m個首次積分求解。在過去研究中,對于兩個自由度下的齊次多項式勢能V(q1,q2),在勢能次數(shù)k=-3,-2,-1,0,1,2,3,4的情形,關(guān)于求解另一個獨(dú)立的多項式首次積分Ⅰ的研究都有了十分完整的結(jié)果,甚至針對更高次數(shù)的情形也有過一些特例的討論,但是對于高維自由度的討論還很少。兩個自由度的哈密頓系統(tǒng),勢能次數(shù)k=-1,0,1時,哈密頓系統(tǒng)完全可積的結(jié)論可以比較直接的得到。當(dāng)勢能次數(shù)2≤k≤5時,Hietarinta [Phys. Lett.A 96(1983),273-278]最初有過較為完整的討論,并證明了勢能次數(shù)k=2時,哈密頓系統(tǒng)完全可積的結(jié)論。隨后由Maciejewski及Przybylska [Phys. Lett. A,327(5-6)(2004),461-473]給出了所有次數(shù)k=3時的勢能形式滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積。之后再次由Maciejewski及Przybylska [J. Math. Phys.46 (6) (2005)062901]給出了除了這一類,所有次數(shù)k=4時的勢能形式滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積,并且由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys52(2011),012702,9 pp]補(bǔ)充證明了次數(shù)k=4時未解決的這類勢能形式中,只有個別形式的勢能滿足哈密頓系統(tǒng)完全可積。勢能次數(shù)k=-2時,在十分強(qiáng)的限制條件下,哈密頓系統(tǒng)才完全可積的結(jié)論由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys. Lett. A 375 (2011),18451849]得到。同樣由Llibre, Mahdi和Valls [Phys. D240(2011)1928--1935]解決了勢能次數(shù)k=-3時,哈密頓系統(tǒng)僅在幾種特殊的是勢能形式下完全可積。本文中我們主要研究在三個自由度下具有齊次勢能的哈密頓系統(tǒng)的多項式可積性,由于問題復(fù)雜性所限,這里著重研究了k=-2,-1,0,1,2的情形,并完全解決了這幾個次數(shù)勢能情形下的多項式可積性。對于次數(shù)k=-1,0,1,2的勢能情形下,我們證明了哈密頓系統(tǒng)均完全可積,并可以找到除哈密頓函數(shù)以外的兩個函數(shù)獨(dú)立的多項式首次積分。在k=-2的勢能情形下,我們給出了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)可積的充要條件,并給出了另兩個函數(shù)獨(dú)立的多項式首次積分的具體的表不。
[Abstract]:In this paper, the polynomial integrability of three degrees of freedom Hamiltonian systems with homogeneous potential energy is studied. The Hamiltonian system with m degree of freedom with homogeneous potential energy is determined by the Hamiltonian function. Where the potential energy function VQ 1, 鈥，

本文編號：1524479