本文關(guān)鍵詞：譜方法求解Allen-Cahn方程與Cahn-Hilliard方程

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【摘要】：譜方法是一類求解微分方程的數(shù)值方法,廣泛應(yīng)用于流體動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、材料科學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域。我們?cè)跀?shù)值求解依賴于時(shí)間的偏微分方程時(shí),一般會(huì)在空間方向上運(yùn)用譜方法,在時(shí)間方向上采用有限差分法。由于非線性項(xiàng)和剛性問題的存在,時(shí)間方向上的計(jì)算大多數(shù)僅限制在二階時(shí)間精度上,這樣即使在空間方向上能夠達(dá)到譜精度,時(shí)間方向上的低階精度也會(huì)影響數(shù)值解的整體精度。為了提高時(shí)間方向上精度,我們將詳細(xì)介紹指數(shù)時(shí)間差分四階龍格庫塔方法(ETDRK4)。這種方法能夠快速而又準(zhǔn)確地解決一些偏微分方程,并且允許我們?cè)趯?shí)際計(jì)算中取較大的時(shí)間步長。同時(shí),我們也將引入半隱式方法,旨在相同條件下與ETDRK4方法做比較。本文的第一章首先簡要介紹譜方法,接著對(duì)譜方法,半隱式方法和指數(shù)時(shí)間差分方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹,最后提出本文研究的主要內(nèi)容。第二章主要回顧了Chebyshev譜方法和Fourier譜方法,涉及相應(yīng)的定義、性質(zhì)和微分矩陣的計(jì)算方法等等,并介紹了時(shí)間離散格式中的半隱式方法和ETDRK4方法。第三章和第四章用前面所討論的方法對(duì)一維的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程進(jìn)行數(shù)值模擬。從誤差、時(shí)間收斂階和CPU時(shí)間三個(gè)方面對(duì)不同的時(shí)間離散格式進(jìn)行比較,并進(jìn)行相應(yīng)的有效性分析。此外,為了能夠在實(shí)際計(jì)算中取到較大的時(shí)間步長,我們引入了Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程穩(wěn)定的一階半隱式格式,討論了一階半隱式格式的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性參數(shù)對(duì)解精度的影響。最后將兩類譜方法從一維問題推廣到二維問題的求解中。第五章對(duì)全文所涉及的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)和展望。
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.8

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