本文關(guān)鍵詞：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的高階逼近方法及其應(yīng)用

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【摘要】：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近可看作是帶弱奇異核的積分的數(shù)值求積問題.為了提高計(jì)算精度,本文基于L1-2方法的思想利用更高階的拉格朗日插值多項(xiàng)式逼近被積函數(shù)中的f(t),從而獲得了一種更高精度的逼近方法,我們稱之為L1-3方法.本文主要做了以下三方面工作:首先,我們構(gòu)造一種新的數(shù)值微分方法來逼近α階(0α1)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).這一工作的主要思路是:在每個(gè)小區(qū)間[tj-1,tj](j≥3)上通過利用(tj-3,f(tj-3)),(tj-2,f(tj-2)),(tj-1,f(tj-1)),(tj,f(tj))這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造三次拉格朗日插值多項(xiàng)式來逼近f(t).相應(yīng)地,在[t0,t1]上,利用(t0,f(t0)),(t1,f(t1))這兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式來逼近f(t);而在[t1,t2]上,則利用(t0,f(t0)),(t1,f(t1)),(t2,f(t2))這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造二次拉格朗日插值多項(xiàng)式來逼近f(t).正如L1-2方法可以看作是對(duì)L1方法的改進(jìn),我們構(gòu)造的這種新方法則可看作是L1-2方法的一種改進(jìn).因此,我們將其稱為L1-3方法.其次,我們?cè)敿?xì)地討論了新方法的截?cái)嗾`差以及新方法中系數(shù)的性質(zhì),結(jié)果表明L1-3方法有更高的精度.具體來說,前人推導(dǎo)的L1方法的精度是2-α階,L1-2方法的精度達(dá)到了3-α階,而這種新的逼近方法的精度則可以達(dá)到4-α階.最后,將這種新的逼近方法分別應(yīng)用到時(shí)間分?jǐn)?shù)階常微分方程和分?jǐn)?shù)階子擴(kuò)散方程的數(shù)值求解,并與L1和L1-2這兩種方法進(jìn)行比較,結(jié)果表明相同步長時(shí)新方法的誤差更小,收斂階與理論分析結(jié)果相吻合.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.5

【參考文獻(xiàn)】

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1 林孔容;關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾種不同定義的分析與比較[J];閩江學(xué)院學(xué)報(bào);2003年05期

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本文編號(hào)：1194776