本文關(guān)鍵詞：擬線性橢圓方程多解的存在性

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【摘要】：在物理和生物領(lǐng)域中常�？梢杂玫綌M線性橢圓方程,比如能在非牛頓流體、非線性彈性問題、孤立波的傳播現(xiàn)象以及人口動力學(xué)等問題上進(jìn)行研究。近些年來,人們愈加關(guān)注擬線性橢圓型方程與其對應(yīng)的方程組,可是在實(shí)際使用過程中,我們會發(fā)現(xiàn)之前用于解決半線性橢圓問題的工具,如Morse理論、上下解方法、極小極大方法等,并不可以直截了當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移到擬線性橢圓方程中,這就會讓這一類問題的探究面臨巨大的困難,從而需要我們堅持不懈的來優(yōu)化和擴(kuò)展現(xiàn)有的工具。當(dāng)前,探究橢圓型方程可解性較為適合的工具之一是Morse理論,該理論通過描述泛函在其孤立臨界點(diǎn)附近的局部拓?fù)湫再|(zhì)和整體拓?fù)湫再|(zhì)之間的關(guān)系,來獲取方程多解的存在性及其各解的多種特性。但問題是,如果想要通過Morse理論來探究擬線性泛函臨界點(diǎn)的特性,我們可能會遇到非常多的技術(shù)性問題,例如,具有正交分解的Hilbert空間將不能再被方程所使用,很多如Morse引理和Gromoll-Meyer定理這樣著名的理論及定理將不能再成立。這樣就讓我們不得不擴(kuò)展及延伸現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)來獲得新的應(yīng)用領(lǐng)域以及更廣闊的臨界點(diǎn)理論。 詳細(xì)內(nèi)容如下,本文章所用Morse理論來探究以下所示的擬線性橢圓方程這里其中△2u=△u為拉普拉斯算子,Ω∈RN是邊界光滑的有界區(qū)域。我們假設(shè)非線性項滿足次臨界增長的條件,所以方程的弱解等價于相應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)。 本課題包含兩大定理。首先我們假定非線性項在無窮遠(yuǎn)處超線性增長,之前的結(jié)論經(jīng)常是獲得解的存在性,而這里所能說明得到的解還是變號的,進(jìn)而會得到,如果上述方程的非線性項還是奇函數(shù),那么我們還能說明該方程有無窮多的變號解。 其次,本課題出現(xiàn)的第二個定理是假定方程在零點(diǎn)共振,能例證泛函在零點(diǎn)具有環(huán)繞的幾何結(jié)構(gòu),通過Morse理論準(zhǔn)確的運(yùn)算零點(diǎn)的臨界群,進(jìn)而可以獲得方程多解的存在性。
【關(guān)鍵詞】：擬線性橢圓方程 變號解 臨界點(diǎn) Morse理論
【學(xué)位授予單位】：北方工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.25
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-6
• 引言6-8
• 第一章 綜述8-12
• 1.1 研究背景及意義8-10
• 1.2 本文的基礎(chǔ)知識10-11
• 1.3 本文的結(jié)構(gòu)11-12
• 第二章 已有結(jié)果與本文定理12-14
• 2.1 變號解的存在性12-13
• 2.2 零點(diǎn)的臨界群13-14
• 第三章 定理1.1的證明14-26
• 3.1 無窮遠(yuǎn)處的臨界群14-17
• 3.2 證明定理1.117-19
• 3.3 定理1.2的證明19-26
• 3.3.1 定理1.2中(i)的證明19-22
• 3.3.2 定理1.2中(ii)的證明22-26
• 參考文獻(xiàn)26-28
• 申請學(xué)位期間的研究成果及發(fā)表的學(xué)術(shù)論文28-29
• 1 發(fā)表的論文28
• 2 參加的科研項目28-29
• 致謝29

【參考文獻(xiàn)】

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1 劉嘉荃;;THE MORSE INDEX OF A SADDLE POINT[J];Systems Science and Mathematical Sciences;1989年01期

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本文編號：1055411