【摘要】：本文主要應(yīng)用動力系統(tǒng)方法研究若干非線性波方程的精確行波解及其分支問題。這些方程包括了數(shù)學物理中有重要應(yīng)用的Raman孤立子方程,以及若干耦合非線性方程、離子聲波模型和高階非線性方程。本文詳細分析了這些非線性方程對應(yīng)的行波系統(tǒng)的豐富動力學性質(zhì),以及其隨參數(shù)而改變的分支行為,并通過較為復雜的計算獲得了系統(tǒng)豐富的精確行波解。針對光學超導材料中的一類Raman孤立子方程,我們利用動力系統(tǒng)及分支理論方法,研究該方程分別在具有Kerr非線性律和拋物非線性律情形下的精確行波解及其分支。對非線性方程具有形如q(x,t)=φ(x-vt)exp(i(-kx+ωt))的解,其中φ(ξ)為對應(yīng)的奇異非線性平面動力系統(tǒng)的解函數(shù),我們根據(jù)分支理論分析該平面動力系統(tǒng),從而對具有Kerr非線性律的情形得到23種不同參數(shù)條件下的系統(tǒng)相圖分支和92種不同形式的精確行波解,這些行波解包括孤立波解、周期波解、扭波和反扭波解、周期尖波解、孤立尖波解以及各種破缺波解等。而對于具有拋物非線性律情形,由于四次非線性項出現(xiàn),使其精確行波解及其分支問題研究難度大為增加,我們根據(jù)分支理論對系統(tǒng)做更精細的刻畫,獲得了28個具有代表性的相圖,進而得到了相應(yīng)的Raman孤立子系統(tǒng)的62個不同形式的行波解,這些解包括孤立波解、周期波解、扭波和反扭波解、周期尖波解、孤立尖波解、偽尖波解和破缺波解以及其精確的參數(shù)表達式。其后,我們相繼研究了若干耦合非線性方程、離子聲波模型以及高階非線性方程。對于耦合非線性方程組,經(jīng)過計算我們發(fā)現(xiàn)其相應(yīng)的行波系統(tǒng)屬于第一類奇異行波系統(tǒng)且含有9個參數(shù),利用分支理論和奇異行波系統(tǒng)理論,我們證明了存在合適的參數(shù)組使得此系統(tǒng)有扭波和反扭波解、周期波解、周期尖波解、破缺波解及各種不同的孤立波解。對于三個非線性離子聲波模型,其控制方程分別為三個偏微分方程系統(tǒng),它們的行波系統(tǒng)也都屬于第一類奇異行波系統(tǒng),通過研究行波系統(tǒng)的分支,我們證明了存在合適的參數(shù)組使得這些奇異行波系統(tǒng)有孤立波解、周期波解、偽尖波解、周期尖波解以及不同形式的破缺波解,從而完善了文[1-3]的研究結(jié)果。最后,對于五類高階非線性方程,利用動力系統(tǒng)理論,我們討論了該類方程的行波解,在Cosgrove所得公式的基礎(chǔ)上,獲得了無限多的孤立波解和擬周期波解,且給出了精確的參數(shù)表達式,同時證明了這些方程也存在無限多的雙峰孤立波解,并給出了這些孤立波解存在的參數(shù)范圍和幾何解釋。
【圖文】：

圖１．３異宿軌道和對應(yīng)的扭波－反扭波解逡逑（２）行波系統(tǒng)的一個三角形軌道／／（也ｙ）邋＝邋／ｉｓ對應(yīng)系統(tǒng)的一個孤立尖波解逡逑（ｐｅａｋｏｎ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ），其中這個三角形軌道是一族周期軌道丑（０，ｙ）邋＝逡逑當／ｚ邋－＞邋Ａｓ時的極限軌道（見圖１．４）．逡逑１逡逑０．８－１邋１８／１逡逑１逡逑ｊｌ邋Ｖ逡逑＼邐－１５＇邋＇邐－１０＇邋＇邐－５邐５邐１０邐１５逡逑－0．８Ｊ邐，逡逑（ａ）三角形軌道邐（６）孤立尖波逡逑注：圖中的奇異直線為４邋＝邋２．逡逑

（ａ）周期閉軌道邐⑷光滑周期波逡逑圖１．２周期閉軌道和對應(yīng)的光滑周期波解逡逑＼［—二邋Ｓ邐°：，，邋＼，，，，，逡逑＼邋ｚ邋小：＼邐：：邐／逡逑＼邋．０邋３邋ｙ邐－。６邐Ｍ逡逑－０．８＇邋－０．８邋—＊＊逡逑（ａ）異宿軌道邐（６）扭波邐（ｃ）反扭波逡逑圖１．３異宿軌道和對應(yīng)的扭波－反扭波解逡逑（２）
【學位授予單位】：中國科學技術(shù)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2019
【分類號】：O411.1

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本文編號：2640743