邊界元方法對于無限域中彈性波散射求解具有獨特優(yōu)勢,但求解矩陣的非對稱稠密特征極大限制了該方法在大規(guī)模實際工程中的應用。為此,基于單層位勢理論,結合快速多極子展開技術,通過對球面壓縮波和剪切波勢函數(shù)的泰勒級數(shù)展開,建立一種新的快速多極間接邊界元方法,以實現(xiàn)大規(guī)模彈性波三維散射的精確高效模擬。算例分析表明所提方法能夠大幅度降低計算時間和存儲量,可在目前普通計算機上快速實現(xiàn)上百萬自由度彈性波三維散射問題的快速精確求解。最后以全空間橢球形孔洞群對平面P波、SV波的散射為例,揭示了三維孔洞群周圍穩(wěn)態(tài)位移場和應力場的若干分布規(guī)律。該文方法對低無量綱頻率(ka5.0)的大規(guī)模多體散射問題尤為適合。
【部分圖文】：

??給出了總場位移和應力的計算公式。2)通過典型算例驗證了方法的計算精度和求解效率。基于FMM-IBEM，以全空間橢球形孔洞群對彈性波的散射為例，揭示了孔洞群周圍位移場和應力場的若干分布規(guī)律。最后，以上百萬自由度的大規(guī)模隨機孔洞群對彈性波散射為例，進一步驗證了FMM-IBEM對求解大規(guī)模散射問題的簡便高效。本文方法為實際當中大規(guī)模彈性波散射問題的精細分析提供了一種新的途徑。1傳統(tǒng)間接邊界元法(IBEM)下面以全空間中三維孔洞對彈性波的散射為例，闡述傳統(tǒng)間接邊界元法的基本原理及實現(xiàn)步驟。計算模型如圖1所示。其中常規(guī)IBEM基于單層位勢理論，通過在邊界面上直接施加虛擬均布荷載，以構造散射波常整體求解思路簡便直觀，可看作是對惠更斯原理的數(shù)值實現(xiàn)[27]。散射波單元虛擬荷載分量等效圓盤單元3D孔洞散射面SReAAPyPzPx圖1三維孔洞對彈性波的散射間接邊界元法計算模型Fig.1Calculationmodelofelasticwavescatteringbya3DcavitybyIBEM考慮平面波(P波或SV波)入射，首先將總波場分解為自由場和散射常對于該三維問題，需在孔洞表面施加三個正交方向的虛擬荷載以構造散射波常邊界元實施中，需首先將孔洞表面離散為三角形或四邊形單元，為便于處理本單元格林函數(shù)，采用斜面圓盤均布荷載近似覆蓋在離散單元上。進而根據(jù)孔洞表面零應力邊界條件建立方程，求解得到虛擬荷載密度。散射波場由各個單元上的虛擬荷載的綜合作用而得，最后將散射場和自由場疊加即得到總波常需指出的是，由于虛擬荷載直接施加在邊界面上，本方法對邊界形狀具有更好的適應性。在不受體力作用情況下，各向同性彈性固體介質的穩(wěn)態(tài)運動方程為：22(λ+μ)u+μu=ωu(1)式中：λ和μ為介質的拉梅常數(shù)；為矢量微

BEMandthatofanalyticalsolution分別利用快速多極子間接邊界元法和球波函數(shù)展開法[31]計算全空間圓球形孔洞散射。圖5分別給出了全空間P波、SV波水平入射下圓球形孔洞y=0(θ=0~2π)截面位移幅值結果對比情況。取ka=1.0，a為圓球半徑，泊松比ν=1/3，單元離散數(shù)均取N=800，DOFs=2400，收斂殘差3ε10=。容易看出，本文所發(fā)展彈性波三維散射快速多極子間接邊界元法同精確解析解方法所得結果吻合良好。同解析解相比，本文方法可處理任意形狀散射體。向應力幅值環(huán)|/|rrθθσσka=4.0ν=1/3z=0.0圖6不同展開階數(shù)環(huán)向應力及解析解結果對比Fig.6Comparisonbetweenhoopstresscalculatedbydifferent-orderedTaylor-seriesexpansionandthatofanalyticalsolution由于波的散射引起的動應力集中具有廣泛的應用價值。圖6給出了不同展開階數(shù)求解環(huán)向應力的結果并與精確解對比分析[32](環(huán)向應力解答見附錄B)。取ka=4.0，a為圓球半徑，泊松比ν=1/3，單元離散數(shù)均取N=4600，DOFs=13800，y=0，收斂殘差3ε10=。由圖6，隨著展開階數(shù)的增加其吻合程度越好，但是其計算效率會有所下降(見通過M2L計算l層結點局部展開系數(shù)建立邊界元模型邊界單元離散并生成八叉樹結構多極展開通過M2M計算各層結點多極展開系數(shù)采用常規(guī)IBEM計算近場源點貢獻通過M2L和L2L計算l+1層結點局部展開系數(shù)局部展開GMRES迭代求解迭代收斂輸出結果結束是M2M否M2LM2LL2LIBEM

也相差不大。注意，在本文中總計算時間包含多極展開系數(shù)、傳遞系數(shù)、局部展開系數(shù)以及近場常規(guī)計算、迭代求解的所有計算時間之和，其中多極展開系數(shù)、傳遞系數(shù)、局部展開系數(shù)計算時間約占總時間的80%~95%，其具體比重需根據(jù)計算頻率、樹結構劃分程度、邊界面離散單元數(shù)目以及邊界面離散均勻性等綜合確定。值得指出的是，上述計算結果以及CPU計算時間統(tǒng)計，均是在16G內存、64位Win7操作系統(tǒng)的個人電腦上(Intel(E3)3.2GHzCPU)，使用MatlabR2012a進行編程運算得到。若采用Fortran編譯器，計算時間還將大幅度減少。圖7FMM-IBEM與常規(guī)IBEM計算時間比較Fig.7ComparisonbetweencalculationtimeofFMM-IBEMandthatofIBEM
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