【摘要】： 保險數(shù)學(xué)是源自保險業(yè)的風(fēng)險管理而產(chǎn)生的應(yīng)用數(shù)學(xué),而風(fēng)險理論則是保險數(shù)學(xué)中最具理論性的重要組成部分。它主要是研究保險公司所關(guān)心的幾個精算量例如破產(chǎn)概率,破產(chǎn)時,破產(chǎn)前余額,破產(chǎn)赤字等。通過利用隨機過程,隨機分析的理論和方法,尤其是Gerber,H.U等人將鞅的理論和方法應(yīng)用到風(fēng)險理論中,使得該學(xué)科得到了迅速的發(fā)展,在刻畫上面所提到的幾個精算量方面取得了豐碩的成果。 隨著金融和保險市場發(fā)展,對于原有幾個精算量的刻畫已經(jīng)不能再滿足保險公司的需求。例如對于破產(chǎn)概率,破產(chǎn)赤字,相對于他們的具體表達式,保險公司更關(guān)心如何才能使得這些代表風(fēng)險的量達到最小。為了使他們盡可能的小,保險公司會采取一些相應(yīng)的措施例如再保險,投資金融市場。這時保險公司所面臨的問題就是如何尋找最優(yōu)的再保險或投資策略使得風(fēng)險達到最小。保險公司除了關(guān)心代表風(fēng)險的量以外也關(guān)心一些代表它的收益和效用的量例如破產(chǎn)前總的分紅量和某時刻財富的效用。想盡可能的使得這些量達到最大。所有這些都屬于金融保險中的隨機最優(yōu)控制問題。在過去幾十年里,通過利用隨機控制的理論和方法,尤其是[24]和[3]把隨機控制理論應(yīng)用到風(fēng)險中,通過Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的方法分別得到了擴散模型下的最優(yōu)投資(目標(biāo)是最小破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用)和最優(yōu)分紅策略,使得該領(lǐng)域得到了迅速的發(fā)展,并開創(chuàng)了風(fēng)險理論和隨機控制理論相結(jié)合的先例。之后有許多文獻相繼利用HJB方程的方法進行對風(fēng)險里的最優(yōu)問題的研究。其中有些也加入了再保險。并取得了很好的結(jié)果。 但在許多工作里為了得到明確的最優(yōu)解,所建立的模型與實際還存在著很大的差距。例如假設(shè)分紅時沒有交易費用和公司的償付能力的限制;僅僅考慮對于單個風(fēng)險資產(chǎn)的投資;考慮最優(yōu)再保險時沒有考慮到再保險人的利益;忽略了索賠過程的長程相依性等等。而在實際中這些因素是存在的且不容忽視的。而且這些因素的加入會對以前所得的最優(yōu)策略產(chǎn)生很大的影響,有的甚至已不再是最優(yōu)的。因此有必要重新考慮所對應(yīng)的最優(yōu)問題和尋找新的最優(yōu)策略。 以往文獻考慮的問題和模型與實際存在差距,其主要一個原因是方法上過于局限于HJB方程。這使得考慮的模型只能限于馬爾科夫過程;考慮的問題只能限于(1.1.4)和(1.1.7)的形式;構(gòu)造的解也必須滿足驗證定理所要求的條件。而上面提到的大多數(shù)問題不再滿足這些條件例如分?jǐn)?shù)布朗運動模型下的最優(yōu)問題,模型不再具有馬爾科夫性質(zhì);再保險中的博弈問題,不再滿足三個限制條件中的任何一個。因此,為了解決這些問題,需要我們尋找新的方法或者在方法上有新的突破。 鑒于上述原因,我的博士畢業(yè)論文將致力于下面三個方面。首先是建立與實際更貼近的模型和問題。其次是不局限于HJB方程的方法,根據(jù)當(dāng)前的模型和問題所特有的性質(zhì)靈活變通,充分發(fā)揮各種隨機控制理論方法的作用,努力尋找解決問題的路徑。最后,為了使最終的結(jié)果對實踐能起到一個很好的指導(dǎo)作用,將盡可能的對最優(yōu)問題給出明確解,使得所得最優(yōu)策略具有可操作性。下面將詳細(xì)介紹各個章節(jié)的內(nèi)容。 首先在第一章中給出了下面章節(jié)中將要涉及到的隨機最優(yōu)控制理論。這些理論主要來自[38]和[89]。 在第二章中,一系列的帶交易費用的最優(yōu)分紅問題被考慮。 分紅是指公司將部分盈余分給股東或初始準(zhǔn)備金的提供者。所以總的分紅量從某種意義上反應(yīng)了一個公司的效益和實力。因此如何選擇一個分紅策略或采取某種措施(例如再保險和投資)使得破產(chǎn)之前的分紅量達到最大一直以來都是金融和保險領(lǐng)域中最熱門的研究話題之一。對于這種古典的最優(yōu)分紅問題已經(jīng)解決的比較完善。包括含有再保險控制的都已經(jīng)給出了非常明確的結(jié)果。結(jié)果展示了帶漂移布朗運動和復(fù)合泊松風(fēng)險模型下的最優(yōu)分紅策略分別是上限為常值的邊界分紅策略(barrier strategy)和波段分紅策略(band strategy)。但是結(jié)果的得到都假設(shè)了當(dāng)進行分紅時不需要交一定量的交易費用。而實際中為了避免連續(xù)交易。當(dāng)進行分紅時都要求交一部分交易費用。即使它可能很少。但它的出現(xiàn)從根本上會影響到最優(yōu)分紅策略的形式。顯然在這種情況下barrierstrategy和band strategy由于都是連續(xù)的進行交易,會帶來無窮大的交易費用,所以都不再是最優(yōu)的分紅策略。因此需要我們重新選擇最優(yōu)分紅策略。由于交易費用的出現(xiàn),我們對最優(yōu)分紅策略的選擇不僅僅要考慮對分紅量的選擇還要考慮對分紅時間的選擇,這使得這時的分紅問題要比古典分紅問題復(fù)雜的多。在風(fēng)險理論里,僅僅[28]給出了帶漂移布朗運動風(fēng)險模型下的最優(yōu)比例再保險和分紅策略。還有很多關(guān)于帶交易費用的最優(yōu)分紅問題沒有解決,例如一直被認(rèn)為比比例再保險更優(yōu)(既相對應(yīng)的最大分紅量更大)的超額損失再保險控制下的最優(yōu)分紅問題,復(fù)合泊松風(fēng)險模型下的最優(yōu)分紅問題,帶有償付能力限制和交易費用的最優(yōu)分紅問題。我們將分別在2.1,2.2和2.3節(jié)展開對這些問題的討論。在這一章的最后一節(jié)我們放寬了以前文獻中所作的限制性的假設(shè),考慮一類更廣義的擴散模型下帶交易費用的最優(yōu)分紅問題,展現(xiàn)了一個與以前不一樣的最優(yōu)解。 在2.1節(jié)我們研究了帶交易費用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險和分紅問題。首先證明了超額損失再保險是比比例再保險好的即所對應(yīng)的最大的期望折現(xiàn)分紅量要大。然后通過解擬變分不等式,給出了最優(yōu)超額損失再保險和分紅策略的明確表達式。超額損失再保險與比例再保險相比不再有比例這么好的形式。[4]曾經(jīng)考慮過超額損失再保險下的不帶交易費用的最優(yōu)分紅問題。我們與[4]的區(qū)別首先是對于擬變分不等式解的構(gòu)造比[4]里面的HJB方程的解的構(gòu)造要困難。其次是在[4]里面對于HJB方程解的構(gòu)造依賴于一個輔助函數(shù)。我們這里對于擬變分不等式解的構(gòu)造,沒有引入輔助函數(shù)而且方法更簡單。 2.2節(jié)考慮了復(fù)合泊松模型下的帶交易費用和稅收的最優(yōu)分紅問題。復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)分紅問題一直以來都是一個難點。主要原因是在復(fù)合泊松情景下所對應(yīng)的最優(yōu)方程不再有邊界條件并且有可能不再有連續(xù)可微的解。在這一節(jié)中我們構(gòu)造出了當(dāng)索賠是指數(shù)情景下的擬變分不等式的解進而給出了最優(yōu)策略。而且也給出了分紅時間間隔的期望值。結(jié)果展現(xiàn)了當(dāng)分紅的稅率減少時,應(yīng)該相應(yīng)的增加分紅的次數(shù)同時減少每次分紅的量。 在2.3節(jié),假設(shè)公司的余額被一個廣義的擴散過程所描述。公司的目標(biāo)是最大化期望折現(xiàn)分紅。每次分紅仍舊有交易費用和稅收被要求。在[93]展現(xiàn)了在一些合理的假設(shè)下最優(yōu)策略是塊狀邊界策略,即有兩個邊界,當(dāng)盈余達到上邊界時,進行分紅,盈余減少到下邊界。但是,從償付能力的角度來看,這些最優(yōu)邊界有可能由于過低而是保險公司所不能接受的。因此我們應(yīng)該找一個滿足償付能力限制的塊狀邊界策略。類似于在[92]所提出的對于償付能力的限制,分紅策略應(yīng)該滿足在該策略下所對應(yīng)的有限時間的破產(chǎn)概率不超過一個給定的值。 這里我們首先假定一個塊狀邊界的限制,這個限制的意思是事先給出兩個邊界,公司僅僅當(dāng)余額到達給定的上邊界時才可以進行分紅,而且分紅后的盈余不能低于給定的下邊界。對于在這個限制下的最優(yōu)分紅問題,我們分為兩步進行考慮,首先考慮僅僅有下邊界限制的最優(yōu)分紅問題,然后在第一步的基礎(chǔ)上考慮有上邊界限制的最優(yōu)分紅問題。這兩步都借助了相應(yīng)的擬變分不等式。但在第二步中,擬變分不等式的解不再是連續(xù)可微的,這使得It(?)公式不能再被利用,進而驗證定理不再成立。我們這里巧妙的利用局部時理論證明了擬變分不等式的解就是最優(yōu)值函數(shù)同時構(gòu)造了相應(yīng)的最優(yōu)策略。首次給出了對于不滿足一次連續(xù)可微函數(shù)的驗證定理。 剩下的任務(wù)是如何找到最優(yōu)的兩個邊界限制使得他們在滿足償付能力限制的情況下對應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)最大。最優(yōu)雙邊界的尋找完全不同于[92]里面對于最優(yōu)單個邊界的尋找。它是極其復(fù)雜的。需要偏微分方程方面更高層的工具。我們在2.3節(jié)里展現(xiàn)了如何利用Thomas和Crank-Nicolson算法來解決相應(yīng)的偏微分方程以得到最優(yōu)雙邊界限制。在這節(jié)的最后,我們還給出了數(shù)值解。 在2.4節(jié)所考慮的公司的盈余過程是一類更廣義的擴散過程。更廣義的意思是放寬了以前文獻中所作的限制性的假設(shè)。這里同樣利用的也是擬變分不等式,但是由于沒有了一些好的假設(shè)條件導(dǎo)致了擬變分不等式的解的性質(zhì)和形式與以前有很大的不同。這里我們利用一種新的思想把擬變分不等式的解根據(jù)他們的性質(zhì)進行了分類。證明了最優(yōu)分紅策略有三種可能性:(1)塊狀邊界分紅策略;(2)塊狀波段分紅策略;(3)最優(yōu)分紅策略不存在。其中最困難的部分是對于塊狀波段分紅策略是最優(yōu)分紅策略的證明。因為在這種情況下,以前所有構(gòu)造最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略的方法已經(jīng)不再有效。為了克服這個困難,我們不再僅僅從擬變分不等式的一個解考慮而是從兩個獨立解入手。對最優(yōu)值函數(shù)進行了四個區(qū)域的構(gòu)造。并且首次清晰的展現(xiàn)了最優(yōu)策略是一個塊狀波段分紅策略并給出了它的具體形式的表達。在以前的文獻里,當(dāng)證明最優(yōu)策略是波段分紅策略時,多數(shù)是從粘性解出發(fā),因此里面所涉及的邊界都沒有一個明確的表達。 第三章討論了最小破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用問題。 在最近幾年里,最小化破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用已經(jīng)被很多研究者考慮過。對于他們之間的關(guān)系早在1965年Ferguson在[37]里就給出了猜測。他猜測當(dāng)效用函數(shù)3.1.5中的參數(shù)m取適當(dāng)?shù)闹禃r,兩個最優(yōu)問題所對應(yīng)的最優(yōu)策略是一樣的。其中假設(shè)沒有無風(fēng)險投資。[24]考慮風(fēng)險盈余過程是一個帶漂移的布朗運動和允許保險公司把盈余投資于風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)。三個最優(yōu)準(zhǔn)則:最大化指數(shù)效用,最小化破產(chǎn)概率和最小化折現(xiàn)罰金分別被考慮。給出最優(yōu)投資的同時驗證了Ferguson's的猜測在當(dāng)前模型下是成立的。另外也展現(xiàn)了當(dāng)有無風(fēng)險投資時,猜測是不成立的。即無論m取何值,最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率兩個最優(yōu)問題的最優(yōu)策略都不同。 再保險是保險公司用來控制他們所面臨的風(fēng)險或提高效用的一個重要的手段。因此我們在3.1節(jié),通過加入再保險控制延拓了Browne的工作。即風(fēng)險盈余過程是一個帶漂移的布朗運動。保險公司被允許把盈余投資于風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn),并且購買(比例)再保險。在投資和再保險這兩種控制下,我們考慮了三個最優(yōu)準(zhǔn)則:最大化指數(shù)效用,最小化破產(chǎn)概率和最小化折現(xiàn)罰金。由于比例再保險控制中的比例是在[0,1]之間的。既控制變量是有限制的。因此對于HJB方程解的構(gòu)造要比[24]復(fù)雜。尤其是最后一個準(zhǔn)側(cè)。即使這樣我們?nèi)耘f給出了HJB的解析解,并通過它給出了最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。特別的,當(dāng)沒有無風(fēng)險投資時,相應(yīng)的結(jié)果展現(xiàn)了最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率他們的最優(yōu)策略是一樣的。這就驗證了在[37]里面給出的猜測在加入再保險后仍舊成立。同時也展現(xiàn)了當(dāng)有無風(fēng)險投資時,猜測不再成立。 對于最優(yōu)投資問題,之前一直考慮的是保險公司投資單個風(fēng)險資產(chǎn)。而實際中為了達到預(yù)期的目標(biāo),保險公司一般是投資到多個風(fēng)險資產(chǎn)。因此我們在3.2節(jié)考慮了投資多個風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)問題�？紤]的風(fēng)險模型和3.2節(jié)一樣。同時允許保險公司投資于多個風(fēng)險資產(chǎn)和購買(比例)再保險。在非賣空的限制下,最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率兩個準(zhǔn)測被考慮。當(dāng)投資于單個風(fēng)險資產(chǎn)時,在沒有非賣空限制下得到的最優(yōu)投資額很自然的滿足非賣空的限制。但對于多個風(fēng)險資產(chǎn),情況就不一樣了。在沒有非賣空限制下得到的最優(yōu)投資策略不一定滿足非賣空的限制。因此需要我們對HJB方程進行一定不同方法的處理。在這節(jié)中,我們首先處理非賣空帶來的影響把HJB轉(zhuǎn)化成一般的可解決方程的形式。然后給出了它的解進而得到了最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。同時也驗證了Ferguson的猜測在沒有無風(fēng)險投資下仍成立同時當(dāng)有無風(fēng)險投資時猜測不成立 3.3節(jié)考慮了超額損失再保險和多個風(fēng)險資產(chǎn)投資兩種控制。最優(yōu)準(zhǔn)則與3.2節(jié)相同。首先證明了超額損失再保險比比例再保險更優(yōu),即超額損失再保險所對應(yīng)的最小破產(chǎn)概率比比例再保險所對應(yīng)的小和最大指數(shù)效用比比例再保險的大。然后通過HJB方程給出了最優(yōu)解。同時也驗證了Ferguson的猜測在超額損失再保險的情景下仍成立。 第四章對保險里的均方差問題進行了討論。 投資組合選擇簡而言之就是把財富分配到不同的資產(chǎn)中,以達到分散風(fēng)險、確保收益的目的。1952年,Markowitz用方差來量化股票收益的風(fēng)險,提出了投資組合選擇的均值-方差分析方法,揭開了現(xiàn)代金融學(xué)研究的序幕。均方差問題是指投資者想找到一個最優(yōu)的投資策略使得它的期望達到最大同時方差最小。它是一個以投資組合的期望收益(均值)和風(fēng)險(方差)為目標(biāo)的雙目標(biāo)決策模型,因此很自然地導(dǎo)出了投資組合選擇的均值-方差有效組合、有效前沿等概念。均值-方差投資組合理論不僅是現(xiàn)代投資組合選擇理論的先驅(qū)工作,也是現(xiàn)代金融學(xué)的基石之一。其精髓在于首先對風(fēng)險進行量化分析,開辟了風(fēng)險管理的新思路。 最近幾年,金融和保險市場已經(jīng)開始慢慢的結(jié)合,保險公司為了增加它的收益或減少它的風(fēng)險會把部分盈余投資于金融市場。已經(jīng)有很多文獻涉及到了保險理論中的最優(yōu)投資問題。但大多數(shù)文獻考慮的最優(yōu)準(zhǔn)則仍舊僅僅限于原有的幾個經(jīng)典精算量例如分紅量,破產(chǎn)概率,破產(chǎn)赤字等。均方差準(zhǔn)則作為金融學(xué)的最重要和最流行的概念之一反而在保險理論中很少被涉及。據(jù)我們所知僅僅[120]考慮了均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問題和[27]考慮了均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險/新業(yè)務(wù)問題。因此,我們在這一章中對保險理論中的均方差問題進行了更深入和廣泛的研究。 在4.1節(jié),我們對再保險/新業(yè)務(wù)和投資兩種控制下的均方差問題進行了研究。其中考慮了兩種風(fēng)險模型:復(fù)合泊松和帶飄移的布朗運動。問題的解決不同于[27],相應(yīng)的HJB方程不再有古典的解,另外即使給出粘性解,據(jù)我們所知僅僅有關(guān)于擴散模型下的粘性解驗證定理。對于它在復(fù)合泊松模型下的有效性還沒有得到認(rèn)證。為了克服這些困難,首先通過兩個特殊的Riccati方程構(gòu)造一個連續(xù)可微函數(shù)并展現(xiàn)了它是HJB方程的粘性解。對于這個粘性解我們給出了不同于以往的驗證定理。而且可以看到它能被應(yīng)用于一類粘性解。最后通過比較兩個風(fēng)險模型下的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)他們的最優(yōu)策略是一樣的。這個可以啟發(fā)我們在考慮一些問題時可以用擴散近似來代替復(fù)合泊松。這樣就可以簡化問題。 迄今,人們一直用具有馬爾科夫性的隨機過程來描述索賠過程。但在大部分情形下,保險公司的索賠過程呈現(xiàn)出長程相依性:給定時刻t后過程的行為,不僅依賴于t時刻的信息,而且還依賴于時刻t以前的歷史。因此,最近已經(jīng)開始有用分?jǐn)?shù)布朗運動來模擬保險公司的索賠過程。但所有文獻都是考慮分?jǐn)?shù)布朗運動風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題。由于分?jǐn)?shù)布朗運動很多性質(zhì)比較難刻畫,因此對于它的破產(chǎn)概率一直沒有得到明確的結(jié)果。對于它的優(yōu)化問題更是很少有人考慮。這不僅是因為分?jǐn)?shù)布朗運動本身比較難研究,更主要的是它不再具有馬氏性,傳統(tǒng)的HJB方程方法已經(jīng)不能再利用。據(jù)我們所知,僅僅[63]考慮過特殊的線性模型下的二次規(guī)劃問題,而且最優(yōu)策略被限制在馬氏策略(即策略在每時刻的取值依賴于當(dāng)時過程的值)集合里考慮。但我們知道分?jǐn)?shù)布朗運動本身不再具有馬氏性,這就意味著真正的最優(yōu)策略不會再是馬氏策略。因此對[63]工作作更進一步的推廣和改進,是很有必要的。在4.2節(jié),我們用一個受分?jǐn)?shù)布朗運動干擾的古典風(fēng)險過程描述了公司的盈余過程。研究了均方差準(zhǔn)則所對應(yīng)的最優(yōu)投資問題。這里分?jǐn)?shù)布朗運動的Hurst參數(shù)H∈(1/2,1)。雖然分?jǐn)?shù)布朗運動不再是Markov過程,不能再利用HJB方程方法。但由于[36]利用Wick乘積定義的關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運動的隨機積分使得分?jǐn)?shù)布朗運動有了跟標(biāo)準(zhǔn)布朗運動許多類似的性質(zhì)例如Zero mean,Girsauov Theorem等。同時受到下面5.1節(jié)對完全平方方法使用范圍的探索結(jié)果啟發(fā)。我們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運動的性質(zhì)是符合完全平方方法的要求。因此通過利用完全平方的方法我們找到了有效策略和有效前沿。并且當(dāng)H→1/2+結(jié)果被驗證收斂到已知的布朗運動情景下的結(jié)果。 在第五章,我們研究了受(分?jǐn)?shù))布朗運動干擾的古典風(fēng)險模型下的最優(yōu)問題。 在5.1節(jié),風(fēng)險過程是一個受布朗運動干擾的復(fù)合泊松過程�？刂剖潜ｋU公司向顧客收取的保費。目標(biāo)是最小化盈余過程與給定軌道的距離與保費折現(xiàn)值的和。我們通過動態(tài)規(guī)劃,完全平房和隨機最大值原則三種不同的方法給出了最優(yōu)控制和最優(yōu)值函數(shù)。這一節(jié)的內(nèi)容,不僅結(jié)果對實踐有一定的指導(dǎo)作用,更重要的是在理論和方法上的作用。在以前的文獻里,基本都是局限于HJB方程的方法。而HJB方程有它的局限性既僅僅使用于馬爾科夫過程。因此在考慮模型和問題上都受到了限制。在這節(jié)中我們把完全平方和隨機最大值原則引入到了保險領(lǐng)域中。他們既跟HJB方法有聯(lián)系但也有很多的區(qū)別,尤其在處理的模型已經(jīng)不再僅僅限于馬爾科夫過程。因此對于我們以后考慮非馬爾科夫盈余過程的最優(yōu)問題有很大的借鑒性。5.2節(jié)就是一個很好的例子。我們在這一節(jié)研究了受分?jǐn)?shù)布朗運動干擾的古典風(fēng)險模型下的最優(yōu)問題。最優(yōu)準(zhǔn)則與5.1節(jié)相同。最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)通過完全平方的方法被清晰的給出。另外4.2節(jié)也是受到了5.1節(jié)所提供方法的啟發(fā)。 在第六章研究了一些其他的最優(yōu)控制問題。 對于再保險已經(jīng)有很多文獻涉及到,例如[24],[58],[4]等。但在所有這些文獻里都沒有考慮到再保險公司的效用。而實際中,如果只考慮保險公司一方的話,所求的最優(yōu)再保險策略往往是再保險公司所不能接受的。這就警惕我們在再保險協(xié)議里有兩方,并且他們的利益是沖突的。因此最優(yōu)再保險的合約必須顯示為一個合理的雙方利益的折衷。這其實就是一個雙方博弈的問題。用博弈的思想來解決保險定價或風(fēng)險分配方面的問題,最初是由[21]提出來的,考慮的最優(yōu)準(zhǔn)則是最大化效用。之后,[1],[117]等在風(fēng)險交換和再保險市場方面也作出了一定的工作。但在所有這些工作中僅僅考慮單期索賠即靜態(tài)的最優(yōu)再保險的選擇。而實際中,投保人與保險公司以及保險公司和再保險公司在很多情況下都是長期的合作而不是僅僅是針對一次索賠的合作。因此我們在6.1節(jié)研究了連續(xù)時間模型下的再保險市場上的最大化指數(shù)效用問題。連續(xù)時間模型下的再保險問題不同于單期的情景,保險公司和再保險公司它們在整個時間段內(nèi)都是一個博弈的關(guān)系。據(jù)我們所知,即使在專門的博弈理論中也從沒涉及到連續(xù)時間模型的例子。因此在借鑒單期的理論和方法的同時,必須在方法上有其他新的突破,才能解決連續(xù)情景下的最優(yōu)再保險問題。為了克服這些困難,我們把問題分成了兩步進行處理。首先處理終端財富之間的Pareto最優(yōu)問題,然后尋找再保險策略去復(fù)制Pareto最優(yōu)終端財富。通過這種方法我們找到了Pareto最優(yōu)策略。而且結(jié)果展現(xiàn)了連續(xù)時間情景下的Pareto最優(yōu)合作再保險是比例再保險。這個結(jié)果恰恰與以前的結(jié)論相反既當(dāng)僅僅保險公司效用被考慮時超額損失再保險一直是最優(yōu)的。最后我們證明了合作再保險的核是非空的。這里核是博弈論非常重要的量,它是所有能被博弈里面所有成員所接受的Pareto最優(yōu)策略的集合。這一節(jié)我們的主要目的是提供一個解決連續(xù)時間再保險市場上的Pareto最優(yōu)問題的方法。其他的很多問題例如分紅,破產(chǎn)概率,均方差等都有待研究。 6.2節(jié)是關(guān)于一個局部信息下的最優(yōu)控制問題。股票的價格滿足一個隨機微分方程,其中瞬時的返回率是一個Ornstein-Uhlenbeck過程。這里僅僅股票的價格和利率能被觀察。通過利用過濾和動態(tài)規(guī)劃理論,我們給出了指數(shù)和對數(shù)效用下的最優(yōu)解。其中對數(shù)效用是在不允許投資者進行賣空和借款的限制下考慮的。與[75]相比,我們這里不允許投資者賣空和借款,而且這里所用的HJB方程的方法要比[75]里面的鞅方法簡單很多。而且使用HJB方程的方法可以給出所對應(yīng)值函數(shù)的明確解。在這節(jié)里考慮的模型是簡單的,我們主要的目的一是利用HJB方程的方法解決局部信息問題,它相對于以前大多數(shù)文獻中的鞅方法要簡單很多,二是希望能為考慮保險理論中的局部信息問題提供一些幫助。 最后一節(jié)考慮的準(zhǔn)則是最小化破產(chǎn)之前到達一個給定目標(biāo)的期望值。對于一般的投資者,[95]通過最大化波動系數(shù)平方除飄移系數(shù)得到了最優(yōu)投資策略。[95]里面的控制變量不受限制和最優(yōu)策略被展現(xiàn)是比例策略。在這一節(jié)中,賣空被限制和比例再保險的比例是在[0,1]之間。這些對控制變量的限制使得[95]里面的方法不能再被利用。我們通過HJB方程的方法給出了最小期望時間和最優(yōu)策略。而且結(jié)果展現(xiàn)了最優(yōu)投資策略已不再是比例策略。 我的博士畢業(yè)論文主要是通過HJB方程,擬變分不等式,偏微分方程,完全平方,Pareto最優(yōu),分?jǐn)?shù)布朗運動等理論解決了風(fēng)險理論中帶交易費用和償付能力限制的最優(yōu)分紅問題,最優(yōu)多個風(fēng)險資產(chǎn),Pareto最優(yōu)再保險以及在分?jǐn)?shù)布朗運動風(fēng)險模型下的最優(yōu)問題。上面以他們所研究的問題對其進行了以章節(jié)為單位的分類介紹。下面將從各個章節(jié)的創(chuàng)新點和特色之處對他們的內(nèi)容進行概括性的總結(jié)。 1.方法的創(chuàng)新。 (1)2.3節(jié)有兩個方法上的創(chuàng)新點:(a)關(guān)于非連續(xù)可微解的驗證定理;(b)利用Thomas和Crank-Nicolson算法給出了最優(yōu)雙邊界。 (2)2.4節(jié)在方法上的兩個創(chuàng)新點是:(a)提出了一種新的把擬變分不等式的解進行分類的方法;(b)給出了一種新的構(gòu)造最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略的方法。 (3)4.1節(jié)給出了一類粘性解的驗證定理。 (4)6.1節(jié)首次給出了解決連續(xù)時間Pareto最優(yōu)再保險的方法。 (5)6.2節(jié)利用HJB方程的方法解決局部信息下的最優(yōu)問題。以前幾乎所有文獻都是利用的鞅方法。這里我們也充分展現(xiàn)了HJB方程與鞅方法相比的優(yōu)點。 2.解方程和構(gòu)造最優(yōu)解技巧的創(chuàng)新。 這部分主要是對已有經(jīng)典工作或優(yōu)秀工作的更深入的研究和推廣。但并不是簡單的在同一方法上的計算推廣。 (1)2.1節(jié)是對文章[28](發(fā)表在國際頂級金融雜志Mathematical Finance)的工作一個改進推廣。研究了帶交易費用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險和分紅問題。首先證明了超額損失再保險比[28]中的比例再保險更優(yōu)。這也是我們考慮超額損失再保險的一個原因。超額損失再保險所對應(yīng)的擬變分不等式比比例再保險復(fù)雜的多。在2.1節(jié)我們給出了不同的構(gòu)造解的方法。 (2)2.2節(jié)是對于古典風(fēng)險模型的一個挑戰(zhàn)。古典風(fēng)險模型一直以來都是分紅問題的難點。這里對于擬變分不等式的解的構(gòu)造與2.1節(jié)和[28]有很大不同。從2.2節(jié)我們可以看到,古典風(fēng)險模型下擬變分不等式的解的形式更多樣化。 (3)[24]的工作被稱為保險理論和控制理論相結(jié)合的先例。在第三章,我們延拓了Browne的工作考慮了最優(yōu)再保險和投資問題。比例再保險的介入使得對于相應(yīng)的HJB方程的解的構(gòu)造需要更高的技巧性。 (4)6.3節(jié)考慮了最小化破產(chǎn)之前到達一個給定目標(biāo)的期望值。這是對于經(jīng)典文章[95]工作的一個推廣。由于賣空被限制和比例再保險的比例是在[0,1]之間。使得[95]里面的方法不能再被利用。我們通過HJB方程的方法解給出了最優(yōu)解。這里對于HJB方程解的構(gòu)造也是極其復(fù)雜的。 3.引入新的控制方法進入保險領(lǐng)域。 5.1節(jié)利用了HJB方程,隨機最大值原則和完全平房三種不同的方法解決最優(yōu)問題。從中可以看到各種方法的優(yōu)缺點和他們不同的使用范圍。這樣可以開拓我們的視眼,考慮不同類型的風(fēng)險模型和問題。 4.研究非馬爾科夫風(fēng)險余額過程的最優(yōu)控制問題。 分?jǐn)?shù)布朗運動是具有長程相依性的非馬爾科夫過程。雖然它可以用來描述現(xiàn)實中更貼近實際的現(xiàn)象。但對于它的研究一直以來都沒有實質(zhì)性的進展。這主要是因為它的性質(zhì)比較難刻劃。風(fēng)險中只有很少的文獻涉及它的破產(chǎn)概率。對于關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運動風(fēng)險模型下的最優(yōu)控制問題。更是寥寥無幾。我們在4.2和5.2。節(jié)研究了受分?jǐn)?shù)布朗運動干擾的復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)控制問題。找到了適合于分?jǐn)?shù)布朗運動的最優(yōu)控制方法。并且給出了最優(yōu)策略的明確解。 本論文另外一個非常重要的特色就是對于所有的最優(yōu)問題都給出了非常明確的最優(yōu)解。
【學(xué)位授予單位】：南開大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2009
【分類號】：F224;F830;F840

【引證文獻】

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本文編號：2634164