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結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展

發(fā)布時(shí)間：2017-01-03 11:17

本文關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

第39卷第12期2013年12月；自動(dòng)化學(xué)報(bào)；ACTAAUTOMATICASINICA；Vol.39,No.12December,201；結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展；劉芳1,2；武嬌1,2,3；楊淑媛2；焦李成2；摘要壓縮感知(Compressivesensin；壓縮感知,壓縮觀測(cè),稀疏表示,信號(hào)重構(gòu),結(jié)構(gòu)模型；劉芳,武嬌,楊淑媛,焦李成.結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)；

第39卷第12期2013年12月

自動(dòng)化學(xué)報(bào)

ACTAAUTOMATICASINICA

Vol.39,No.12December,2013

結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展

劉芳1,2

武嬌1,2,3

楊淑媛2

焦李成2

摘要壓縮感知(Compressivesensing,CS)是一種全新的信息采集與處理的理論框架.借助信號(hào)內(nèi)在的稀疏性或可壓縮性,可從小規(guī)模的線性、非自適應(yīng)的測(cè)量中通過(guò)非線性優(yōu)化的方法重構(gòu)信號(hào).結(jié)構(gòu)化壓縮感知是在傳統(tǒng)壓縮感知基礎(chǔ)上形成的新的理論框架,旨在將與數(shù)據(jù)采集硬件及復(fù)雜信號(hào)模型相匹配的先驗(yàn)信息引入傳統(tǒng)壓縮感知,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)更廣泛類型的信號(hào)準(zhǔn)確有效的重建.本文圍繞壓縮感知的三個(gè)基本問(wèn)題,從結(jié)構(gòu)化測(cè)量方法、結(jié)構(gòu)化稀疏表示和結(jié)構(gòu)化信號(hào)重構(gòu)三個(gè)方面對(duì)結(jié)構(gòu)化壓縮感知的基本模型和關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行詳細(xì)的闡述,綜述了結(jié)構(gòu)化壓縮感知的最新的研究成果,指出結(jié)構(gòu)化壓縮感知進(jìn)一步研究的方向.關(guān)鍵詞引用格式DOI

壓縮感知,壓縮觀測(cè),稀疏表示,信號(hào)重構(gòu),結(jié)構(gòu)模型

劉芳,武嬌,楊淑媛,焦李成.結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2013,39(12):1980?199510.3724/SP.J.1004.2013.01980

ResearchAdvancesonStructuredCompressiveSensing

LIUFang1,2

WUJiao1,2,3

YANGShu-Yuan2

JIAOLi-Cheng2

AbstractCompressivesensing(CS)isanewlydevelopedtheoreticalframeworkforinformationacquisitionandpro-cessing.Usingthenon-linearoptimizationmethods,thesignalscanberecoveredfromfewerlinearandnon-adaptivemeasurementsbytakingadvantageofthesparsityorcompressibilityinherentinrealworldsignals.Structuredcom-pressivesensingisanewframeworkwhichcantreatmoregeneralsignalclassestoachievetheaccurateande?ectivereconstructioninpracticebyintroducingthepriorinformationmatchingwithdataacquisitionhardwareandcompli-catedsignalmodelstotraditionalcompressivesensing.Inthispaper,thebasicmodelsandkeytechniquesofstructuredcompressivesensingareintroducedintermsofthestructuredmeasurements,thestructureddictionaryrepresentationandthestructuredsignalreconstruction,whichcorrespondtothreebasicaspectsofcompressivesensing,andtherecentdevelopmentsofstructuredcompressivesensingarereviewedindetail.Finally,thecurrentandfuturechallengesofthestructuredcompressivesensingarediscussed.Keywordsturedmodel

Compressivesensing(CS),compressivemeasurement,sparserepresentation,signalreconstruction,struc-

CitationLiuFang,WuJiao,YangShu-Yuan,JiaoLi-Cheng.Researchadvancesonstructuredcompressivesensing.ActaAutomaticaSinica,2013,39(12):1980?1995

收稿日期2012-09-10錄用日期2013-04-09

ManuscriptreceivedSeptember10,2012;acceptedApril9,2013國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2013CB329402),國(guó)家自然科學(xué)基金(61072106,61072108,61173090,61272023),高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(111計(jì)劃)(B07048),教育部長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃(IRT1170),國(guó)家教育部博士點(diǎn)基金(20110203110006),智能感知與圖像理解教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(IPIU012011002)資助SupportedbyNationalBasicResearchProgramofChina(973Program)(2013CB329402),NationalNaturalScienceFounda-tionofChina(61072106,61072108,61173090,61272023),FundforForeignScholarsinUniversityResearchandTeachingPro-grams(111Project)(B07048),ProgramforCheungKongSchol-arsandInnovativeResearchTeaminUniversity(IRT1170),NationalResearchFoundationfortheDoctoralProgramofHigherEducationofChina(20110203110006),andtheOpenResearchFundProgramofKeyLaboratoryofIntelligentPer-ceptionandImageUnderstandingofMinistryofEducationofChina(IPIU012011002)本文責(zé)任編委王聰

新興的壓縮感知(Compressivesensing,CS)為信息采集提供了全新的方法.與傳統(tǒng)的Nyquist采樣相比,CS以壓縮形式(即低采樣率)直接感知具有稀疏或可壓縮性的對(duì)象,而不是先以高速率進(jìn)行采樣,然后再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮,因此CS為解決傳統(tǒng)采樣方法面臨的高成本、低效率、信息冗余以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)馁Y源浪費(fèi)等問(wèn)題帶來(lái)了新的契機(jī).CS領(lǐng)域的研究始于Cand`es等[1?4]和Donoho[5]開創(chuàng)性的工作,他們證明了具有稀疏或可壓縮性的有限維信號(hào),可從小規(guī)模的線性、非自適應(yīng)的測(cè)量中使用非線性優(yōu)化的方法獲得恢復(fù).CS理論一經(jīng)提出就備受關(guān)注,之后的幾年涌現(xiàn)出大量的相關(guān)研究,并在許多工程領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了CS的應(yīng)用,例如欠Nyquist采樣系統(tǒng)[6]、壓縮成像系統(tǒng)[7]、壓縮傳感網(wǎng)絡(luò)[8]等.最

sity,Xi??an7100712.KeyLaboratoryofIntelligentPercep-tionandImageUnderstandingofEducation,XidianUniversity,Xi??an7100713.CollegeofSciences,ChinaJiliangUniversity,Hangzhou310018

RecommendedbyAssociateEditorWANGCong

1.西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院西安7100712.智能感知與圖像理解教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安7100713.中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院杭州310018

1.SchoolofComputerScienceandTechnology,XidianUniver-

典型的應(yīng)用例子是在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域,CS成像在保持診斷質(zhì)量的同時(shí)將兒科的核磁共振成像(Nuclearmagneticresonanceimaging,NMRI)的速度提高了7倍[9].這種基于CS理論的新型成像方法,將對(duì)醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域中昂貴的成像器件的設(shè)計(jì)產(chǎn)生重要的影響.

自2006年CS理論提出以來(lái),國(guó)際與國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了許多CS理論與應(yīng)用研究的課題組和科研機(jī)構(gòu),召開了眾多相關(guān)的研討會(huì),并且在IEEE的信息論、信號(hào)處理及圖像處理等國(guó)際知名期刊涌現(xiàn)出上百篇涉及CS理論與應(yīng)用方面的文獻(xiàn).其中一些關(guān)于傳統(tǒng)CS理論的優(yōu)秀的綜述性文獻(xiàn)[1,10?15]對(duì)CS的理論基礎(chǔ)、基本問(wèn)題、研究方法以及CS的應(yīng)用前景進(jìn)行了詳細(xì)的介紹.上述文獻(xiàn)指出,傳統(tǒng)CS理論是以信號(hào)的稀疏性或可壓縮性為基礎(chǔ)的,研究的基本內(nèi)容包括信號(hào)的稀疏表示、壓縮測(cè)量(采樣)方法設(shè)計(jì)和信號(hào)重構(gòu)算法設(shè)計(jì).傳統(tǒng)CS的工作多集中于使用隨機(jī)測(cè)量對(duì)有限維的信號(hào)進(jìn)行低速觀測(cè),以信號(hào)固有的變換稀疏性作為先驗(yàn)信息來(lái)重構(gòu)信號(hào),沒(méi)有考慮時(shí)間連續(xù)信號(hào)的情況和應(yīng)用CS理論所必須的硬件系統(tǒng).為此與數(shù)據(jù)采集硬件系統(tǒng)和復(fù)雜信號(hào)模型相匹配的先驗(yàn)信息被引入到傳統(tǒng)CS,這些先驗(yàn)信息在CS中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在三個(gè)方面:1)結(jié)構(gòu)化的測(cè)量方法,即傳統(tǒng)CS中的隨機(jī)測(cè)量被與信號(hào)相匹配的結(jié)構(gòu)化測(cè)量框架所代替;2)結(jié)構(gòu)化字典下的表示,即獲得信號(hào)低維結(jié)構(gòu)的稀疏表示(即結(jié)構(gòu)稀疏表示);3)結(jié)構(gòu)化的CS重構(gòu),即在信號(hào)的重構(gòu)中使用能夠?qū)Ω鼮閺V泛類型的信號(hào)(包括無(wú)限維信號(hào))進(jìn)行描述的結(jié)構(gòu)先驗(yàn)?zāi)Ｐ?由此傳統(tǒng)CS理論得到推廣,逐步形成CS的新的理論框架—結(jié)構(gòu)化CS理論[16].

本文對(duì)新的結(jié)構(gòu)化CS理論的研究狀況進(jìn)行綜述.在第1節(jié)中,首先概述傳統(tǒng)CS的數(shù)學(xué)模型;其次,在第2節(jié)中介紹結(jié)構(gòu)化CS中的幾種低維結(jié)構(gòu)模型;在第3節(jié)中,圍繞CS理論的三個(gè)基本問(wèn)題,對(duì)結(jié)構(gòu)化CS的相關(guān)研究方法進(jìn)行詳細(xì)的綜述;最后,在第4節(jié)中展望未來(lái)的研究方向.

若令Φ=ΘΨ,式(1)可轉(zhuǎn)化為

y=ΘΨx=Φx(2)

Φ被稱為CS信息算子.

與壓縮采樣過(guò)程相對(duì)的逆問(wèn)題是從測(cè)量y中

??,從而估重構(gòu)信號(hào)f.求解式(2)獲得變換系數(shù)x

??.但該問(wèn)題是欠定的,具有無(wú)窮多個(gè)解.CS計(jì)f

理論以x的稀疏性作為約束條件,大大減少了問(wèn)題可行解的個(gè)數(shù).這時(shí),求解式(2)是尋找線性系統(tǒng)稀疏解的過(guò)程,一般被稱為稀疏逼近(Sparseapproximation)[17],出現(xiàn)在諸如統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)、編碼理論和逼近理論等許多領(lǐng)域.CS重構(gòu)是稀疏逼近的一種特殊形式.

信號(hào)的傳統(tǒng)壓縮感知過(guò)程如圖1所示,其中壓縮觀測(cè)、稀疏表示和信號(hào)優(yōu)化重構(gòu)這三個(gè)基本模塊是CS理論研究的三個(gè)重要方向.信號(hào)的稀疏性是CS的必備條件,非相關(guān)的觀測(cè)是CS的關(guān)鍵,非線性優(yōu)化是CS重構(gòu)信號(hào)的手段[15]

圖1

Fig.1

傳統(tǒng)壓縮感知框架

Frameoftraditionalcompressivesensing

2信號(hào)的低維結(jié)構(gòu)模型

一般來(lái)說(shuō),包含著先驗(yàn)知識(shí)的模型對(duì)尋找或處理我們感興趣的信號(hào)是很有幫助的,而我們研究的信號(hào)往往具有各種不同的潛在的低維結(jié)構(gòu),也就是說(shuō),高維信號(hào)的自由度通常遠(yuǎn)低于信號(hào)的維數(shù).近年來(lái),在許多領(lǐng)域出現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的低維結(jié)構(gòu)模型的研究[16,18].本節(jié)將介紹幾個(gè)在CS中常用的信號(hào)結(jié)構(gòu)模型.

2.1稀疏信號(hào)模型

稀疏信號(hào)模型是信號(hào)處理領(lǐng)域普遍使用的最簡(jiǎn)單的模型,傳統(tǒng)CS理論正是以其為基礎(chǔ)構(gòu)建起來(lái)的.從數(shù)學(xué)的定義來(lái)說(shuō),當(dāng)信號(hào)f∈RN在某個(gè)基或字典下的變換系數(shù)x中僅含有k個(gè)非零項(xiàng),即??x??0=k(k??N),稱f是k-稀疏的.稀疏性體現(xiàn)出在很多情況下高維信號(hào)實(shí)際僅包含了遠(yuǎn)低于其維數(shù)的少量信息.實(shí)際場(chǎng)景中的大部分信號(hào)并不是精確稀疏的,但能夠由k-稀疏信號(hào)很好地逼近,通常稱這些信號(hào)是可壓縮的.對(duì)稀疏信號(hào)x∈RN,所有k-稀疏信號(hào)構(gòu)成的集合記為

1傳統(tǒng)壓縮感知

傳統(tǒng)Nyquist采樣通過(guò)均勻采樣獲取數(shù)據(jù),而CS系統(tǒng)則是以信號(hào)與觀測(cè)函數(shù)之間的內(nèi)積的形式來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣.假設(shè)信號(hào)f∈RN在某個(gè)正交字典Ψ∈RN×N下具有稀疏表示,即f=Ψx,變換系數(shù)x是稀疏的,那么給定與Ψ不相關(guān)的觀測(cè)矩陣Θ∈RK×N(K??N),我們可獲得K維壓縮的線性測(cè)量(投影):

y=Θf(1)

Σk={x:??x??0≤k}

|Σk|表示k-稀疏信號(hào)的個(gè)數(shù),則|Σk|=CN.

(3)

這些少量的測(cè)量中包含了重構(gòu)信號(hào)f的充足信息.

如上所述,壓縮測(cè)量中重構(gòu)信號(hào)是一個(gè)欠定問(wèn)題,過(guò)去十年許多研究者從理論和求解算法上對(duì)此進(jìn)行了研究.理論表明,在稀疏模型約束下,當(dāng)觀測(cè)矩陣滿足有限等距性質(zhì)(Restrictedisometryprop-erty,RIP)[2,19?22],或當(dāng)Φ中線性相關(guān)的列的最小數(shù)目spark(Φ)大于2k時(shí)[23],式(2)有唯一確定的解.

稀疏矩陣X的充分必要條件是

|supp(X)|<

spark(Φ)?1+rank(X)

(5)

2.2多測(cè)量向量模型

在實(shí)際應(yīng)用中,研究的復(fù)雜信號(hào)往往隱含著稀疏性之外的一些潛在的結(jié)構(gòu)信息,從而出現(xiàn)如何將信號(hào)結(jié)構(gòu)與稀疏性相結(jié)合以獲得更優(yōu)結(jié)果的問(wèn)題.

對(duì)有限維信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題,傳統(tǒng)CS由單重測(cè)量恢復(fù)未知的稀疏信號(hào),被稱為單測(cè)量向量(Singlemeasurementvector,SMV)模型.作為SMV模型的推廣,多測(cè)量向量(Multiplemeasurementvec-tor,MMV)模型是CS中使用的第一類結(jié)構(gòu)模型.從多重測(cè)量恢復(fù)多個(gè)未知的稀疏信號(hào),被用于分布式壓縮感知(DistributedCS)[24]的聯(lián)合稀疏重構(gòu)問(wèn)題.MMV問(wèn)題在信號(hào)處理領(lǐng)域的研究已超過(guò)十年,最初在腦磁圖數(shù)據(jù)處理中提出[25],之后被應(yīng)用于陣列信號(hào)處理、認(rèn)知無(wú)線電、多帶通信以及DNA微陣列等[16].

MMV模型具有如下形式:

文獻(xiàn)[26?27]證明了當(dāng)用rank(Y)代換式(5)中的rank(X)時(shí),仍能夠保證從Y唯一地確定X,并提出可獲得更優(yōu)性能的基于Y的秩信息的重構(gòu)算法.文獻(xiàn)[28]證明了甚至在有無(wú)窮多個(gè)向量xq的情況下,上述唯一恢復(fù)的條件也是充分的.

上述研究表明,具有較大的秩的矩陣X能夠從比支撐個(gè)數(shù)少得多的測(cè)量中恢復(fù);具有較大支撐的矩陣X能夠從與支撐個(gè)數(shù)相同的測(cè)量恢復(fù).當(dāng)rank(X)=k,且spark(Φ)的最大的可能值等于K+1時(shí),由式(5)可得K≥k+1,也就是說(shuō)在最理想的情況下,MMV模型的每個(gè)信號(hào)僅需k+1個(gè)測(cè)量即可保證唯一重構(gòu),這比傳統(tǒng)CS(或SMV模型)中由spark性質(zhì)獲得的保證唯一恢復(fù)的測(cè)量數(shù)量2k[23]要低得多.

2.3子空間聯(lián)合模型

這種結(jié)構(gòu)化模型可以推廣至無(wú)限維空間.對(duì)具有某些結(jié)構(gòu)的N維k-稀疏信號(hào),可能僅需將信號(hào)的支撐限制在Σk中的一個(gè)更小的子集上就能夠很好地刻畫信號(hào)的結(jié)構(gòu).例如當(dāng)信號(hào)的非零系數(shù)以某種聚集形式出現(xiàn)時(shí),就可以由子空間聯(lián)合(Unionsofsubspaces)模型來(lái)刻畫信號(hào)的這種結(jié)構(gòu).信號(hào)的子空間聯(lián)合模型是對(duì)稀疏模型的擴(kuò)展,能夠用于刻畫包括維數(shù)有限和無(wú)限的更多類型的信號(hào).

在子空間聯(lián)合模型中,如果已經(jīng)知道x位于L個(gè)可能的子空間U1,···,UL中的某個(gè)子空間,那么x一定位于這L個(gè)子空間的并中[16,29],即

Y=ΦX+V(4)

其中X=[x1,···,xQ]∈RN×Q是信號(hào)矩陣,表示由Q個(gè)信號(hào)xq∈RN(q=1,···,Q)構(gòu)成的信號(hào)集;Y=[y1,···,yQ]∈RK×Q是多測(cè)量矩陣,Φ∈RK×N是CS信息矩陣,V∈RK×Q是Gaus-sian白噪聲矩陣.當(dāng)Q=1時(shí),式(4)退化為SMV模型.

MMV模型假設(shè)信號(hào)xq(q=1,···,Q)是k-稀疏的,并且具有相同的稀疏支撐,即非零值出現(xiàn)在相同的位置.定義?=supp(X)=∪qsupp(xq)為X的非零行的位置標(biāo)識(shí)集,則X最多有k個(gè)非零行,即|supp(X)|≤k,我們稱X是k-聯(lián)合稀疏矩陣[26].

對(duì)從多測(cè)量Y重構(gòu)信號(hào)矩陣X的問(wèn)題,可以通過(guò)求解Q個(gè)SMV問(wèn)題,依次從yq恢復(fù)xq來(lái)重構(gòu)X.但由于所有的信號(hào)xq(q=1,···,Q)都具有相同的支撐,因此可以期望利用這種聯(lián)合結(jié)構(gòu)信息來(lái)提高重構(gòu)質(zhì)量.也就是說(shuō),一般情況下重構(gòu)X所需的測(cè)量的數(shù)量K×Q要小于S×Q,其中S是由傳統(tǒng)CS方法在相同精度下重構(gòu)單個(gè)信號(hào)xq所需的測(cè)量個(gè)數(shù)[16].

MMV模型的k-聯(lián)合稀疏矩陣X滿足rank(X)≤k,rank(X)是X的秩.文獻(xiàn)[26]從理論上證明了從多測(cè)量Y=ΦX唯一確定k-聯(lián)合

x∈U=

L??l=1

Ul(6)

其中,Ul(1≤l≤L)是RN中的k-維子空間,對(duì)應(yīng)

于x中k個(gè)非零系數(shù)的某個(gè)特定的位置集合.與包

含所有可能的N維k-稀疏信號(hào)的集合Σk(由CN

個(gè)子空間的并構(gòu)成)相比,L往往遠(yuǎn)小于CN.

當(dāng)前還沒(méi)有統(tǒng)一的方法來(lái)處理所有的聯(lián)合模型,研究者們對(duì)在一些特殊類型的子空間聯(lián)合模型下的信號(hào)采樣和恢復(fù)問(wèn)題做出了相關(guān)的理論和應(yīng)用研究[16].最簡(jiǎn)單的聯(lián)合模型為有限個(gè)子空間的聯(lián)合(Finiteunionofsubspaces,FUS)模型,其中子空間的個(gè)數(shù)和維數(shù)都是有限的.

文獻(xiàn)[30]中提出的基于模型的CS(Model-basedCS)使用了FUS模型的一種特殊情況—結(jié)構(gòu)稀疏支撐(Structuredsparsesupports)模型.該模型利用支撐的額外信息,如向量的非零元素的位置,使得U僅是Σk中的一部分.一種典型的結(jié)

圖2

Fig.2

信號(hào)/圖像的小波樹結(jié)構(gòu)

Wavelettreestructureofsignal/image

構(gòu)稀疏支撐模型為樹結(jié)構(gòu)支撐(Tree-structuredsupports)模型[30].光滑的小波基為光滑和分段光滑的信號(hào),包括自然圖像,提供了稀疏或可壓縮表示,并且這些信號(hào)和圖像的小波系數(shù)自然地形成一種樹狀結(jié)構(gòu),具有大幅值的系數(shù)沿著樹的分支而聚集,如圖2所示.因此僅需要使用由與樹結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的子空間構(gòu)成的并集來(lái)表示信號(hào).

FUS模型的另一種特殊情況是子空間的稀疏和(Sparsesumsofsubspaces)模型,在這種模型中構(gòu)成并集的每個(gè)子空間Ul是k個(gè)低維子空間的直和[16,31]:

k??Ul=Wlj(7)

j=1

等應(yīng)用中

圖3Fig.3

塊稀疏向量[16]

Blocksparsevector[16]

其中{Wl1,···,Wlk}是給定的子空間集合,

dim(Wlj)=dl.因此不同的子空間Ul對(duì)應(yīng)于從L個(gè)子空間Wlj中取出不同的k個(gè)子空間構(gòu)成的和.當(dāng)dim(Wlj)=1時(shí),該模型退化為標(biāo)準(zhǔn)的稀疏模型.由此,可得到塊稀疏(Blocksparsity)模型[32?34],即一個(gè)向量中的某些塊等于零,其他部分不為零.圖3給出一個(gè)塊稀疏向量的例子.向量x分成5個(gè)塊,其中陰影區(qū)域表示向量的10個(gè)非零元素,它們占了2個(gè)塊,dl表示第l個(gè)塊中包含的元素的個(gè)數(shù).當(dāng)對(duì)所有l(wèi),dl=1時(shí),塊稀疏性退化為標(biāo)準(zhǔn)稀疏性.統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)K稀疏模型的性質(zhì)進(jìn)行了大量的研究[35?38],此外塊稀疏模型也被用于DNA微陣分析[39?40]、稀疏通信信道均衡[41]和源定位[42]

對(duì)FUS模型,文獻(xiàn)[29?31,43?44]將傳統(tǒng)CS中的標(biāo)準(zhǔn)的RIP性質(zhì)擴(kuò)展為(U,δ)-RIP性質(zhì),證明了在常數(shù)δ足夠小的情況下,為FUS模型設(shè)計(jì)的重構(gòu)算法能夠正確恢復(fù)稀疏向量x,并給出了保證穩(wěn)定恢復(fù)所需的測(cè)量數(shù)量.文獻(xiàn)[32]在子空間的稀疏和模型下對(duì)相關(guān)性(Coherence)進(jìn)行了推廣,定義了矩陣的塊相關(guān)性(Block-coherence).文獻(xiàn)[45?46]加入了子空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu),例如子空間的稀疏性,這相當(dāng)于在對(duì)單個(gè)塊的優(yōu)化中加入表示稀疏性的正則項(xiàng),從而得到多層的結(jié)構(gòu)稀疏模式,該模型已被成功地應(yīng)用于源識(shí)別和分離問(wèn)題[46].

上述維數(shù)與個(gè)數(shù)都有限的子空間聯(lián)合模型主要依賴于對(duì)模擬輸入的離散化,沒(méi)有考慮實(shí)際的硬件系統(tǒng).為了能在硬件上真正地實(shí)現(xiàn)對(duì)具有結(jié)構(gòu)的模擬信號(hào)的低速采樣和重建,出現(xiàn)了對(duì)更為復(fù)雜的子空間聯(lián)合模型的研究.這些子空間的聯(lián)合模型包括子空間個(gè)數(shù)有限而子空間維數(shù)無(wú)限的模型、子空間維數(shù)有限而個(gè)數(shù)無(wú)限的模型和子空間維數(shù)和個(gè)數(shù)都無(wú)限的模型.

由于是對(duì)由聯(lián)合子空間表示的模擬信號(hào)的低速采樣,因此解決相同問(wèn)題所使用的方法與上述有限

子空間聯(lián)合模型中對(duì)離散化信號(hào)使用的方法有本質(zhì)的區(qū)別.處理模擬信號(hào)的欠Nyquist采樣問(wèn)題的兩個(gè)主要的框架是Xampling和有限更新率(Finite-rateofinnovation,FRI).Xampling框架主要處理那些能夠被表示為有限個(gè)無(wú)限維子空間的并的模擬信號(hào),例如多帶模型[47].在這種模型中,模擬信號(hào)由帶限信號(hào)的有限和構(gòu)成,信號(hào)分量通常具有一個(gè)相對(duì)較小的帶寬,但分布在一個(gè)比較大的頻率范圍內(nèi)[48].另一類能夠用子空間的并表示的信號(hào)是具有有限更新率的一類信號(hào)[49].依賴于特定的結(jié)構(gòu),這種模型對(duì)應(yīng)于有限維子空間的無(wú)限或有限個(gè)并[6,50?51],可以刻畫許多具有低自由度的信號(hào).在這種情況下,每個(gè)子空間對(duì)應(yīng)于參數(shù)值的某種選擇,參數(shù)的可能取值的集合是無(wú)限維的,從而由模型張成的子空間的個(gè)數(shù)也是無(wú)限的.借助于子空間的這種模擬的并,使我們能夠以低速率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣及實(shí)時(shí)處理,并且設(shè)計(jì)出有效的硬件,諸如使用調(diào)制器、低速率模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-digitalconverter,ADC)和低通濾波等標(biāo)準(zhǔn)模擬設(shè)計(jì)組件實(shí)現(xiàn)模擬前端[16],從而促進(jìn)模擬CS框架從理論到實(shí)際應(yīng)用的發(fā)展.

其中λ>0為正則參數(shù),??·??l為某種正則策略.模型(11)通常被稱為魯棒主成分分析(Robustprincipalcomponentanalysis,RPCA)[52].在RPCA的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[53]提出低秩加稀疏矩陣分解的低秩表示(Low-rankrepresentation,LRR)模型處理多子空間問(wèn)題.LRR模型表示為

minrank(Z)+λ??E??l,s.t.X=DZ+E

(12)

其中,D∈RN1×n是一個(gè)線性張成數(shù)據(jù)空間的字典,n為字典中原子的個(gè)數(shù).類似于CS的l0-最小化問(wèn)題,式(9)～(12)都是NP(Nondeterministicpolynomial)-難的.一類有效的方法是用矩陣的核范數(shù)??Z???(即矩陣Z的奇異值的和)代替rank(Z),將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解[54?55].

3結(jié)構(gòu)化壓縮感知

傳統(tǒng)CS在信號(hào)的采集與重建中僅將稀疏性作為唯一的先驗(yàn)信息,而結(jié)構(gòu)化CS在傳統(tǒng)CS的三個(gè)基本模塊中引入了結(jié)構(gòu)先驗(yàn),即結(jié)構(gòu)化的觀測(cè)、結(jié)構(gòu)化的字典和結(jié)構(gòu)化的信號(hào)重構(gòu).結(jié)構(gòu)化CS的理論框架如圖4所示,可以看到,結(jié)構(gòu)化CS以結(jié)構(gòu)稀疏表示為基礎(chǔ),采用與信號(hào)匹配的結(jié)構(gòu)化觀測(cè),在結(jié)構(gòu)化先驗(yàn)下,對(duì)更為廣泛的信號(hào)類實(shí)現(xiàn)更加有效的重構(gòu).接下來(lái),我們將結(jié)合上一節(jié)給出的信號(hào)的各種低維結(jié)構(gòu)模型對(duì)結(jié)構(gòu)化CS理論的三個(gè)基本問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的介紹

2.4低秩矩陣模型

矩陣的稀疏性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:1)矩陣元素的稀疏性,即矩陣具有很少的非零元素;2)矩陣奇異值的稀疏性,即矩陣具有很少的非零奇異值,也就是說(shuō)矩陣的秩非常小,這時(shí)我們稱矩陣為低秩矩陣.對(duì)矩陣X∈RN1×N2,低秩矩陣的集合可表示為

{X∈RN1×N2:rank(X)≤r}(8)

??r

矩陣X的奇異值分解為X=i=1σiuivi,σ1,···,σr≥0為奇異值,u1,···,ur∈RN1和v1,···,vr∈RN2為相應(yīng)的奇異向量.

近年來(lái)低秩矩陣重建已成為機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),矩陣的恢復(fù)與填充可看作是CS重構(gòu)由一維信號(hào)到二維矩陣的推廣.在低秩矩陣約束下,矩陣填充問(wèn)題表示為

minrank(Z),s.t.P?(Z)=P?(X)

圖4

Fig.4

結(jié)構(gòu)化壓縮感知框架

Frameofstructuredcompressivesensing

3.1結(jié)構(gòu)化觀測(cè)矩陣

為了保證從低維測(cè)量y重構(gòu)信號(hào)x時(shí)式(2)存在確定的解,傳統(tǒng)CS理論要求觀測(cè)矩陣Θ與稀疏基矩陣Ψ不相關(guān),從而使信息算子Φ以很大的概率滿足RIP性質(zhì)[10].除了RIP性質(zhì)之外,相關(guān)性判別理論[56]、矩陣spark判別理論[57]以及測(cè)量算子零空間理論[58]等都可作為衡量觀測(cè)矩陣處理稀疏信號(hào)的能力的判定標(biāo)準(zhǔn).因此在傳統(tǒng)CS中,主要設(shè)計(jì)滿足上述性質(zhì)的非自適應(yīng)的觀測(cè)矩陣.觀測(cè)矩陣固定,不隨信號(hào)發(fā)生改變.已證明傳統(tǒng)CS廣泛使用的隨機(jī)觀測(cè)矩陣(如隨機(jī)Gaussian矩陣)能夠以高概率保證RIP和不相關(guān)性,但當(dāng)信號(hào)維數(shù)很高時(shí),隨機(jī)觀測(cè)矩陣將導(dǎo)致復(fù)雜度過(guò)高的問(wèn)題,不易實(shí)現(xiàn).

在某些特定應(yīng)用中,觀測(cè)矩陣的類型通常受到

(9)

其中?為具有缺失元素的矩陣X中已知元素的標(biāo)識(shí)集,P?(X)定義為

Xij,若(i,j)∈?

P?(Xij)=(10)

0,其他最近,一些同時(shí)考慮矩陣元素與矩陣奇異值的

稀疏性的低秩矩陣模型被用于矩陣恢復(fù)問(wèn)題:

minrank(Z)+λ??E??l,s.t.X=Z+E

(11)

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結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展