數(shù)學(xué)建模
內(nèi)容摘要：
數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的一種工具和手段，要了解什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)建模一般方法及步驟。
關(guān)鍵詞：
數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模、實(shí)際問題
伴隨著當(dāng)今社會的科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模也顯得尤為重要。數(shù)學(xué)建模在人們生活中扮演著重要的角色，，而且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模更是在人類的活動(dòng)中起著重要作用，數(shù)學(xué)建模也更好的為人類服務(wù)。
一、數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象,一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).
簡單地說:就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述),即用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù),圖形,代數(shù)方程,微分方程,積分方程,差分方程等)來描述(表述,模擬)所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律.
隨著社會的發(fā)展,生物,醫(yī)學(xué),社會,經(jīng)濟(jì)……,各學(xué)科,各行業(yè)都涌現(xiàn)現(xiàn)出大量的實(shí)際課題,急待人們?nèi)パ芯?去解決.但是,社會對數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才,而更大量的是需要在各部門中從事實(shí)際工作的人善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問題,取得經(jīng)濟(jì)效益和社會效益.他們不是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識而尋找實(shí)際問題(就像在學(xué)校里做數(shù)學(xué)應(yīng)用題),而是為了解決實(shí)際問題而需要用到數(shù)學(xué).而且不止是要用到數(shù)學(xué),很可能還要用到別的學(xué)科,領(lǐng)域的知識,要用到工作經(jīng)驗(yàn)和常識.特別是在現(xiàn)代社會,要真正解決一個(gè)實(shí)際問題幾乎都離不開計(jì)算機(jī).可以這樣說,在實(shí)際工作中遇到的問題,完全純粹的只用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識就能解決的問題幾乎是沒有的.你所能遇到的都是數(shù)學(xué)和其他東西混雜在一起的問題,不是"干凈的"數(shù)學(xué),而是"臟"的數(shù)學(xué).其中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里等著你去解決,而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn).也就是說,你要對復(fù)雜的實(shí)際問題進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語言來描述的關(guān)系或規(guī)律,把這個(gè)實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題,這就稱為數(shù)學(xué)模型.
數(shù)學(xué)模型具有下列特征:數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要特征是高度的抽象性.通過數(shù)學(xué)模型能夠?qū)⑿蜗笏季S轉(zhuǎn)化為抽象思維,從而可以突破實(shí)際系統(tǒng)的約束,運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)研究成果對研究對象進(jìn)行深入的研究.數(shù)學(xué)模型的另一個(gè)特征是經(jīng)濟(jì)性.用數(shù)學(xué)模型研究不需要過多的專用設(shè)備和工具,可以節(jié)省大量的設(shè)備運(yùn)行和維護(hù)費(fèi)用,用數(shù)學(xué)模型可以大大加快研究工作的進(jìn)度,縮短研究周期,特別是在電子計(jì)算機(jī)得到廣泛應(yīng)用的今天,這個(gè)優(yōu)越性就更為突出.但是,數(shù)學(xué)模型具有局限性,在簡化和抽象過程中必然造成某些失真.所謂"模型就是模型"(而不是原型),即是指該性質(zhì).
二、數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐.即通過抽象,簡化,假設(shè),引進(jìn)變量等處理過程后,將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá),建立起數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解.簡而言之,建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過程就稱為數(shù)學(xué)建模.
模型是客觀實(shí)體有關(guān)屬性的模擬.陳列在櫥窗中的飛機(jī)模型外形應(yīng)當(dāng)象真正的飛機(jī),至于它是否真的能飛則無關(guān)緊要;然而參加航模比賽的飛機(jī)模型則全然不同,如果飛行性能不佳,外形再象飛機(jī),也不能算是一個(gè)好的模型.模型不一定是對實(shí)體的一種仿照,也可以是對實(shí)體的某些基本屬性的抽象,例如,一張地質(zhì)圖并不需要用實(shí)物來模擬,它可以用抽象的符號,文字和數(shù)字來反映出該地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型也是一種模擬,是用數(shù)學(xué)符號,數(shù)學(xué)式子,程序,圖形等對實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃,它或能解釋某些客觀現(xiàn)象,或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律,或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略.數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版,它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析,又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識.這種應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象,提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模.實(shí)際問題中有許多因素,在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)你不可能,也沒有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮,只能考慮其中的最主要的因素,舍棄其中的次要因素.數(shù)學(xué)模型建立起來了,實(shí)際問題化成了數(shù)學(xué)問題,就可以用數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)方法去解答這個(gè)實(shí)際問題.如果有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具當(dāng)然好.如果沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具,就促使數(shù)學(xué)家們尋找和發(fā)展出新的數(shù)學(xué)工具去解決它,這又推動(dòng)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展.例如,開普勒由行星運(yùn)行的觀測數(shù)據(jù)總結(jié)出開普勒三定律,牛頓試圖用自己發(fā)現(xiàn)的力學(xué)定律去解釋它,但當(dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)工具是不夠用的,這促使了微積分的發(fā)明.求解數(shù)學(xué)模型,除了用到數(shù)學(xué)推理以外,通常還要處理大量數(shù)據(jù),進(jìn)行大量計(jì)算,這在電子計(jì)算機(jī)發(fā)明之前是很難實(shí)現(xiàn)的.因此,很多數(shù)學(xué)模型,盡管從數(shù)學(xué)理論上解決了,但由于計(jì)算量太大而沒法得到有用的結(jié)果,還是只有束之高閣.而電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展,給用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題打開了廣闊的道路.而在現(xiàn)在,要真正解決一個(gè)實(shí)際問題,離了計(jì)算機(jī)幾乎是不行的.數(shù)學(xué)模型建立起來了,也用數(shù)學(xué)方法或數(shù)值方法求出了解答,是不是就萬事大吉了呢 不是.既然數(shù)學(xué)模型只能近似地反映實(shí)際問題中的關(guān)系和規(guī)律,到底反映得好不好,還需要接受檢驗(yàn),如果數(shù)學(xué)模型建立得不好,沒有正確地描述所給的實(shí)際問題,數(shù)學(xué)解答再正確也是沒有用的.因此,在得出數(shù)學(xué)解答之后還要讓所得的結(jié)論接受實(shí)際的檢驗(yàn),看它是否合理,是否可行,等等.如果不符合實(shí)際,還應(yīng)設(shè)法找出原因,修改原來的模型,重新求解和檢驗(yàn),直到比較合理可行,才能算是得到了一個(gè)解答,可以先付諸實(shí)施.但是,十全十美的答案是沒有的,已得到的解答仍有改進(jìn)的余地,可以根據(jù)實(shí)際情況,或者繼續(xù)研究和改進(jìn);或者暫時(shí)告一段落,待將來有新的情況和要求后再作改進(jìn).
應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去研究和和解決實(shí)際問題,遇到的第一項(xiàng)工作就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.從這一意義上講,可以說數(shù)學(xué)建模是一切科學(xué)研究的基礎(chǔ).沒有一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型就不可能得到較好的研究結(jié)果,所以,建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型乃是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵之一.數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中,是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識分析問題,解決問題的能力的必備手段之一.
三、數(shù)學(xué)建模的一般方法
建立數(shù)學(xué)模型的方法并沒有一定的模式,但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性
建模的一般方法:
1.機(jī)理分析
機(jī)理分析就是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識,分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.
(1) 比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法.
(2) 代數(shù)方法--求解離散問題(離散的數(shù)據(jù),符號,圖形)的主要方法.
(3) 邏輯方法--是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法,對社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際
問題,在決策,對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用.
(4) 常微分方程--解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律,關(guān)鍵是建立"瞬時(shí)變化率"
的表達(dá)式.
(5) 偏微分方程--解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律.
2.測試分析方法
測試分析方法就是將研究對象視為一個(gè)"黑箱"系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求,通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型.
(1) 回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,…,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.
(2) 時(shí)序分析法--處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.
(3) 回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,…,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.
(4) 時(shí)序分析法--處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.
將這兩種方法結(jié)合起來使用,即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù),也是常用的建模方法, 在實(shí)際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定.機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見左圖.
3.仿真和其他方法
(1) 計(jì)算機(jī)仿真(模擬)--實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法,等效于抽樣試驗(yàn).
① 離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量.
② 連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.
(2) 因子試驗(yàn)法--在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn),再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改,求得所需的模型結(jié)構(gòu).
(3) 人工現(xiàn)實(shí)法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo),并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化,人為地組成一個(gè)系統(tǒng).(參見:齊歡《數(shù)學(xué)模型方法》,華中理工大學(xué)出版社,1996)
四、數(shù)學(xué)模型的分類
數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,下面介紹常用的幾種.
1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分:如人口模型,交通模型,環(huán)境模型,生態(tài)模型,城鎮(zhèn)規(guī)劃模型,水資源模型,再生資源利用模型,污染模型等.范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué),醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué),地質(zhì)數(shù)學(xué),數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué),數(shù)學(xué)社會學(xué)等.
2.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法(或所屬數(shù)學(xué)分支)分:如初等數(shù)學(xué)模型,幾何模型,微分方程模型,圖論模型,馬氏鏈模型,規(guī)劃論模型等.
按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中,著重于某一專門領(lǐng)域中用不同方法建立模型,而按第二種方法分類的書里,是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用.在本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模.
3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法:
確定性模型和隨機(jī)性模型 取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響.近年來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,又有所謂突變性模型和模糊性模型.
靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型 取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化.
線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系,如微分方程是否是線性的.
離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量(主要是時(shí)間變量)取為離散還是連續(xù)的.
雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的,動(dòng)態(tài)的,非線性的,但是由于確定性,靜態(tài),線性模型容易處理,并且往往可以作為初步的近似來解決問題,所以建模時(shí)常先考慮確定性,靜態(tài),線性模型.連續(xù)模型便于利用微積分方法求解,作理論分析,而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值計(jì)算,所以用哪種模型要看具體問題而定.在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化,或?qū)㈦x散變量視作連續(xù),也是常采用的方法.
4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,預(yù)報(bào)模型,優(yōu)化模型,決策模型,控制模型等.
5.按照對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分:有所謂白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.這是把研究對象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān),要通過建模來揭示它的奧妙.白箱主要包括用力學(xué),熱學(xué),電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題,這方面的模型大多已經(jīng)基本確定,還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題了.灰箱主要指生態(tài),氣象,經(jīng)濟(jì),交通等領(lǐng)域中機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做.至于黑箱則主要指生命科學(xué)和社會科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理(數(shù)量關(guān)系方面)很不清楚的現(xiàn)象.有些工程技術(shù)問題雖然主要基于物理,化學(xué)原理,但由于因素眾多,關(guān)系復(fù)雜和觀測困難等原因也常作為灰箱或黑箱模型處理.當(dāng)然,白,灰,黑之間并沒有明顯的界限,而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,箱子的"顏色"必然是逐漸由暗變亮的.
五、數(shù)學(xué)建模的一般步驟
建模的步驟一般分為下列幾步:
1.模型準(zhǔn)備.首先要了解問題的實(shí)際背景,明確題目的要求,搜集各種必要的信息.
2.模型假設(shè).在明確建模目的,掌握必要資料的基礎(chǔ)上,通過對資料的分析計(jì)算,找出起主要作用的因素,經(jīng)必要的精煉,簡化,提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè),使問題的主要特征凸現(xiàn)出來,忽略問題的次要方面.一般地說,一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題,即使可能,也很難求解.不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型.假設(shè)作得不合理或過份簡單,會導(dǎo)致模型失敗或部分失敗,于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè);假設(shè)作得過分詳細(xì),試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考慮進(jìn)去,可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作.通常,作假設(shè)的依據(jù),一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識,二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析,也可以是二者的綜合.作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理,化學(xué),生物,經(jīng)濟(jì)等方面的知識,又要充分發(fā)揮想象力,洞察力和判斷力,善于辨別問題的主次,果斷地抓住主要因素,舍棄次要因素,盡量將問題線性化,均勻化.經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用.寫出假設(shè)時(shí),語言要精確,就象做習(xí)題時(shí)寫出已知條件那樣.
3.模型構(gòu)成.根據(jù)所作的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系, 利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)――即建立數(shù)學(xué)模型.把問題化為數(shù)學(xué)問題.要注意盡量采取簡單的數(shù)學(xué)工具,因?yàn)楹唵蔚臄?shù)學(xué)模型往往更能反映事物的本質(zhì),而且也容易使更多的人掌握和使用.
4.模型求解.利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題,這時(shí)往往還要作出進(jìn)一步的簡化或假設(shè).在難以得出解析解時(shí),也應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解.
5.模型分析.對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,有時(shí)要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況,有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào),有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制,不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析,模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.
6.模型檢驗(yàn).分析所得結(jié)果的實(shí)際意義,與實(shí)際情況進(jìn)行比較,看是否符合實(shí)際,如果結(jié)果不夠理想,應(yīng)該修改,補(bǔ)充假設(shè)或重新建模,有些模型需要經(jīng)過幾次反復(fù),不斷完善.
7.模型應(yīng)用.所建立的模型必須在實(shí)際中應(yīng)用才能產(chǎn)生效益,在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善.應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的.
參考文獻(xiàn)：
(1)齊歡《數(shù)學(xué)模型方法》,華中理工大學(xué)出版社,1996。
(2)《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識》,(季刊),中國數(shù)學(xué)會編輯出版。