第一章緒論

孫維剛的教學(xué)，從來沒有單教過數(shù)學(xué)的一個(gè)章節(jié)，每堂課教的都是整體的數(shù)學(xué)。孫維剛的數(shù)學(xué)課堂是教師們追求的，他實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育意義，教的是真正的數(shù)學(xué)。以任何外延的途徑試圖把握整個(gè)數(shù)學(xué)的嘗試，結(jié)果都是注定不成功的，因?yàn)閿?shù)學(xué)不是用窮盡法可以完結(jié)的。在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展過程中，存在一個(gè)使其成其為“數(shù)學(xué)”的、貫穿于數(shù)學(xué)始終的不變的東西，這就是數(shù)學(xué)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。找到了它，數(shù)學(xué)才可以名副其實(shí)的成為一個(gè)整體，教師才可以名副其實(shí)的教數(shù)學(xué)，學(xué)生才可以學(xué)名副其實(shí)的數(shù)學(xué)。孫維剛的數(shù)學(xué)教學(xué)，被認(rèn)為是及其少有的教師之教的狀態(tài)，因?yàn)樗推渌麛?shù)學(xué)教師不同，他培養(yǎng)出的學(xué)生也和其他的學(xué)生不同。人們認(rèn)為這樣的教師是少數(shù)的。那么，在教師專業(yè)發(fā)展的今天，我們是否應(yīng)該對孫維剛的數(shù)學(xué)教學(xué)有以下的考慮：教師專業(yè)發(fā)展難道不應(yīng)該指向這樣的一個(gè)目標(biāo)嗎？難道我們作為未來的教師不應(yīng)該學(xué)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？應(yīng)該學(xué)什么呢？怎樣才能站在系統(tǒng)的高度，整體的把握數(shù)學(xué)呢？由此，提出“中學(xué)數(shù)學(xué)教什么”的問題，以中學(xué)數(shù)學(xué)中的4個(gè)課為例（分別為“從算術(shù)到方程”、“變量與函數(shù)”、“變化率與導(dǎo)數(shù)”、“隨機(jī)事件的概率”），對此問題進(jìn)行探討，由此展開本次研究。
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第二章從“方程”到“概率”

一、 數(shù)學(xué)與世界
在古代將數(shù)學(xué)稱為“算學(xué)”或“算術(shù)”，從中體現(xiàn)出我國古代的數(shù)學(xué)以計(jì)算為主，后將其改為“數(shù)學(xué)”。“數(shù)學(xué)”一詞來源于古希臘，其有學(xué)>J、學(xué)問、科學(xué)之意。從字面理解“數(shù)學(xué)”是關(guān)于數(shù)字的學(xué)問，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)說”體現(xiàn)了這一點(diǎn)，認(rèn)為世界上的萬事萬物都可以用數(shù)來衡量，世界萬物都具有數(shù)學(xué)屬性。盡管無理數(shù)的出現(xiàn)使得“萬物皆數(shù)”說不再成為真理，但是這一說法并不過時(shí)，這個(gè)時(shí)期正在被小學(xué)生真實(shí)的經(jīng)歷著、感受著。起初，兒童帶著物的屬性進(jìn)入數(shù)學(xué)，需要借助“一個(gè)蘋果"來認(rèn)識數(shù)字“1”。“1”可以指代任何具有數(shù)量“1”的東西，不同之處在于，現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)字“1”并不存在，但是它所抽象掉的那個(gè)物質(zhì)實(shí)在卻真實(shí)的、大量的、可感的存在于世界當(dāng)中，這從根本上決定了數(shù)學(xué)與世界的聯(lián)系與不同。數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，在人類對此界的認(rèn)識過程中逐漸形成。數(shù)學(xué)將現(xiàn)實(shí)世界中事物的物質(zhì)實(shí)在抽象掉，剩下的純形式關(guān)系進(jìn)入數(shù)學(xué)的研究范疇，這些純形式與世界當(dāng)中的某個(gè)實(shí)在對應(yīng)著，有些是對實(shí)物的直接抽象或是在對實(shí)際問題的直接解決中產(chǎn)生，一般都可以直接找到促使其產(chǎn)生的源頭。還有些是為了滿足數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要而產(chǎn)生，促使這個(gè)新形式產(chǎn)生的東西地位相當(dāng)于世界當(dāng)中的物質(zhì)實(shí)在，可以被直接的感知、認(rèn)識并可以成為下一個(gè)新知識的內(nèi)在前提。因此，對于任何數(shù)學(xué)知識，還原知識的本來面貌，找到促使其產(chǎn)生的源頭，才可以知其然更知其所以然！帶著這樣的理解，認(rèn)識方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和概率。

二、 數(shù)學(xué)發(fā)展中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)
在數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程中，存在過只有算術(shù)的數(shù)學(xué)時(shí)期，這一時(shí)期依賴于列算式解決問題。因此，算式成為了這一時(shí)期解決問題的主要方式。通過列算式，可以直接利用已知數(shù)的混合運(yùn)算求得未知。但是，隨著問題的逐漸增多，每一個(gè)問題都需要列出不同的算式，呈現(xiàn)出了一個(gè)個(gè)零散的、各個(gè)算式之間沒有什么聯(lián)系的問題。另外，面對含有復(fù)雜關(guān)系的實(shí)際f"J題，試圖通過已知直接求得未知的解法顯得極其困難，解決問題時(shí)通常需要復(fù)雜的思考過程和很難把握的巧妙思路，思維難度過高，即便找到了一個(gè)巧妙的解法，這種解法一般只對一個(gè)問題有效，當(dāng)面對下一個(gè)新問題時(shí)又重新回到了原點(diǎn)。一切問題顯得零零散散。算數(shù)fpj題中積累了大量關(guān)于各種數(shù)量問題的解法，為了尋求有系統(tǒng)、更普遍的方法以解決各種數(shù)量關(guān)系fpj題，產(chǎn)生了以解方程原理為中心問題的初等代數(shù)。方程通過直接建立等量關(guān)系解決問題，使得未知數(shù)參與其中，使得數(shù)學(xué)從算術(shù)轉(zhuǎn)向代數(shù)。

第二章 從“方程”到“概率”...... 8

一、 數(shù)學(xué)與世界...... 8

二、 數(shù)學(xué)發(fā)展中的轉(zhuǎn)折點(diǎn) .........9

二、 數(shù)學(xué)形式和運(yùn)算........ 10

四、 4個(gè)課選取的設(shè)計(jì)思想...... 11

第三章中學(xué)數(shù)學(xué)教什么、怎么教...... 13

一、 從算術(shù)到代數(shù)——《從算式到方程》的教學(xué)設(shè)想........ 13

二、 從數(shù)值到變量——《變量與函數(shù)》的教學(xué)設(shè)想.......... 15

三、 無窮小運(yùn)算——《變化率與導(dǎo)數(shù)》的教學(xué)設(shè)想 ..........17

四、 “不確定”的數(shù)學(xué)——《隨機(jī)事件的概率》的教學(xué)設(shè)想.... 20

第四章研究結(jié)論與反思......... 23

第三章中學(xué)數(shù)學(xué)教什么、怎么教

一、 從算術(shù)到代數(shù)——《從算式到方程》的教學(xué)設(shè)想
方程是數(shù)學(xué)發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它也會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折、認(rèn)識數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折，自此他們考慮問題的方式會(huì)發(fā)生改變，字母將進(jìn)入他們的視野并逐漸帶領(lǐng)他們在數(shù)學(xué)的世界中走得更遠(yuǎn)，在思維上實(shí)現(xiàn)從算術(shù)到代數(shù)的轉(zhuǎn)變，，感受方程這種新形式的出現(xiàn)以及它帶來運(yùn)算上的變化，從理論上體會(huì)方程簡便之所在，用方程本身吸引學(xué)生，使得學(xué)生+是從為了對付考試而產(chǎn)生對方程的興趣，而是從學(xué)生的內(nèi)心深處產(chǎn)生對方程的理解，感受方程解決問題時(shí)的普遍化意義、方程中字母的意義并體會(huì)方程是對世界中等量關(guān)系的描述形式。由此產(chǎn)生對方程的興趣以及對數(shù)學(xué)的興趣。這也將成為本課教學(xué)所期待的一次嘗試。

二、 從數(shù)值到變量一《變量與函數(shù)》的教學(xué)設(shè)想
《變量與函數(shù)》是人民教育出版社八年級上冊第十四章“一次函數(shù)”第一節(jié)“變量與函數(shù)”的第一課時(shí)，學(xué)生在此之前接觸的數(shù)、方程、不等式、平面圖形等，都屬于常量數(shù)學(xué)的范疇。常量數(shù)學(xué)是以常數(shù)、常量和不變的圖形為主要研究對象，比如方程，是對等量關(guān)系的直接描述，旨在求得數(shù)值解。但是，世界當(dāng)中的變化在常量數(shù)學(xué)中沒有數(shù)學(xué)形式描述它。這種運(yùn)動(dòng)、變化卻在世界_中存在并且對人類生活產(chǎn)生著影響，因此，對當(dāng)前的數(shù)學(xué)（常量數(shù)學(xué)）提出了新的要求：必須產(chǎn)生一種可以表示變化過程以及變化著的量之間依賴關(guān)系的形式，這樣的需求使得函數(shù)產(chǎn)生�！蹲兞颗c函數(shù)》這節(jié)課是學(xué)生接觸變量的幵始，變化帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入函數(shù)，函數(shù)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)從數(shù)值到變量、從求解到關(guān)系描述的變化，使得學(xué)生完成這種從“靜止”到“運(yùn)動(dòng)”的轉(zhuǎn)變，學(xué)會(huì)用變化的觀點(diǎn)把握函數(shù)，進(jìn)一步認(rèn)識運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。如何使得學(xué)生感受到這樣的變化呢？由于方程作為常量數(shù)學(xué)的代表是學(xué)生早已熟悉的，因此可以嘗試著從方程開始本課的教學(xué)，利用方程的不變、離散解產(chǎn)生出變化的函數(shù)，從中體會(huì)數(shù)學(xué)從常量走向變量、從靜止走向運(yùn)動(dòng)的變化。同時(shí)，方程與函數(shù)的聯(lián)系也“一切盡在不言中”。
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第四章研究結(jié)論與反思

一、 中學(xué)數(shù)學(xué)教什么、如何教
本文從形式和運(yùn)算的角度考慮“數(shù)學(xué)是什么”的H題，方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率教學(xué)內(nèi)容的設(shè)想是以“數(shù)學(xué)是什么”而展幵，嘗試從形式關(guān)系和數(shù)學(xué)運(yùn)算來把握中學(xué)數(shù)學(xué)，使得數(shù)學(xué)成為一個(gè)以形式關(guān)系和運(yùn)算為核心，并由此逐步展開的統(tǒng)一體，進(jìn)而形成整個(gè)數(shù)學(xué)知識體系。從這個(gè)本質(zhì)上把握數(shù)學(xué),將整體的數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，使教學(xué)過程中不偏離數(shù)學(xué)軌道，真正的教數(shù)學(xué)，并為“中學(xué)如何教數(shù)學(xué)”提供一個(gè)線索。中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，不論是起始課還是復(fù)習(xí)課，都由內(nèi)而外的散發(fā)著數(shù)學(xué)的味道，數(shù)學(xué)帶給學(xué)生的是由形式和運(yùn)算展開的數(shù)學(xué)知識，這樣的理解使得數(shù)學(xué)知識不再是一個(gè)個(gè)孤立的單獨(dú)體，而是由一個(gè)中心逐漸向外發(fā)散可以到無窮。盡管無窮、盡管發(fā)散，卻可以被把握，“形式關(guān)系”將這些無窮無盡的知識聯(lián)結(jié)在一起。伴隨著新形式的出現(xiàn)，帶來了運(yùn)算的變化，從而充盈起了數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算也為感受數(shù)學(xué)新形式提供了機(jī)會(huì)。

二、 學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的養(yǎng)成
數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是形成學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成學(xué)生的意識品質(zhì)，其中包括知識與技能、過程與方法、情感、態(tài)度與價(jià)值觀。這些東西不會(huì)單獨(dú)產(chǎn)生出來，必須借助具體知識來實(shí)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)知識不是概念、不是純記憶、不是技能的訓(xùn)練，恰恰這一切都可以通過含有數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)特點(diǎn)的教學(xué)所引起。這樣的教學(xué)不只可以引起知識本身還可以引起能力、體驗(yàn)、情感、價(jià)值觀等，一同匯聚成數(shù)學(xué)意識品質(zhì)。方程描述了世界當(dāng)中的等量關(guān)系，它的出現(xiàn)帶來了字母運(yùn)算和解方程。學(xué)生知道方程的概念不算數(shù)學(xué)素質(zhì)，知道“求誰設(shè)誰”也不能構(gòu)成數(shù)學(xué)素質(zhì)，僅會(huì)解方程當(dāng)然也不是數(shù)學(xué)素質(zhì)，方程的概念、解方程所有的這些應(yīng)該是形成數(shù)學(xué)素質(zhì)時(shí)表現(xiàn)出來的東西，但是僅會(huì)背概念，僅會(huì)解方程是不能產(chǎn)生出數(shù)學(xué)素質(zhì)的。只有當(dāng)學(xué)生帶著方程在解決問題時(shí)產(chǎn)生的不同之感進(jìn)入到解方程的運(yùn)算中，從中體會(huì)方程的普遍化意義時(shí)才有方程帶來的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

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參考文獻(xiàn)（略）