本文關鍵詞：畢達哥拉斯定理證明

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勾股定理與畢達哥拉斯定理證明思路不同

2013-08-05 09:37 來源: 中國社會科學在線

　　【核心提示】無論東西方，對勾股定理或是畢達哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)都不是簡單孤立的數(shù)學事件，而是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現(xiàn)。數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)絕不是對特例的發(fā)現(xiàn)，而古希臘與中國以不同的證明思路佐證了各自對于此定理的獨立發(fā)現(xiàn)。

　　西方學者一直使用畢達哥拉斯定理的說法，少有勾股定理的用法。即便終身傾力于中國科學技術史研究的李約瑟，在《中華科學文明史》中也采用“畢達哥拉斯定理”的稱謂，甚至有“《周髀算經(jīng)》中對畢達哥拉斯定理的證明”的提法。而身處中國的我們，也認為勾股定理就是西方的畢達哥拉斯定理。

　　確定何謂數(shù)學定理，至少有三種可能的途徑：特例表述、普遍性表述和數(shù)學證明。就勾股定理或者畢達哥拉斯定理而言，勾三股四弦五是特例表述；a2+b2=c2是普遍性表述；勾股定理或者畢達哥拉斯定理的證明則是數(shù)學證明。

　　“勾廣三，股修四，徑隅五”出自《周髀算經(jīng)》中一段商高與周公的對話，但這一特例表述能否看作是定理發(fā)現(xiàn)呢？如果把特例表述也看作是定理的發(fā)現(xiàn)，則此定理的發(fā)現(xiàn)權應當屬于巴比倫文明。1945年，美國數(shù)學史家伊格鮑爾細致考察了現(xiàn)存美國哥倫比亞大學的Plimpton322號泥版，考證出巴比倫人在漢謨拉比時代（約前1700）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)畢達哥拉斯數(shù)組，即符合a2+b2=c2的系列數(shù)字及其關系。

　　此發(fā)現(xiàn)是否具有幾何學意義？著名數(shù)學史家克萊因在巴比倫數(shù)表發(fā)現(xiàn)前就相信，埃及人和巴比倫人只是把幾何作為實用工具，“埃及人的幾何是怎樣的呢？他們并不把算術和幾何分開，草片文書中都有這兩方面的問題。埃及人也象巴比倫人那樣，把幾何看作實用工具。他們只是把算術和代數(shù)用來解有關面積、體積及其他幾何性質的問題”。如果巴比倫數(shù)表只是用以算術計算，則與中國的“勾三股四弦五”的特例表述一樣，雖然是令人驚奇的發(fā)現(xiàn)，但稱不上是幾何定理。

　　西方把這一定理稱為畢達哥拉斯定理，這是因為歐幾里德在《幾何原本》中提到畢達哥拉斯證明了這一定理。但克萊因認為，很可能到了公元前4世紀，，在畢達哥拉斯學派晚期才實現(xiàn)了定理證明，而畢達哥拉斯本人只是依據(jù)特例來肯定所得結果。

　　由畢達哥拉斯學派完成的該定理的演繹證明在西方思想史上具有重要的意義。如克萊因認為，“希臘人堅持要演繹證明，這也確是了不起的一步。在世界上的幾百種文明里，有的的確也搞出了一種粗陋的算術和幾何。但只有希臘人才想到要完全用演繹推理來證明結論”。

　　證明體現(xiàn)了數(shù)學的本質。從數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)過程來看，西方人認為特例表述應當早于普遍性表述，普遍性表述又早于定理證明。如伽利略所言：“你可以相信，畢達哥拉斯遠在他以百牛祭慶祝他發(fā)現(xiàn)一條幾何證明之前，早就肯定直角三角形對直角一邊（斜邊）的平方等于另外兩邊的平方之和了�！�

　　最值得注意的是，畢達哥拉斯定理的證明是一個幾何學證明，它與算術無關，這明顯區(qū)別于巴比倫時代對畢達哥拉斯數(shù)組以算術形式的發(fā)現(xiàn)。

　　在中國，對勾股定理的特例表述與普遍性表述，都出自《周髀算經(jīng)》。商高所說的“勾廣三，股修四，徑隅五”是特例表述，商高與周公對話的年代約為公元前10世紀前后，早于古希臘；《周髀算經(jīng)》卷上之二中陳子在與榮方的對答中說“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得斜至日”，這是勾股定理的普遍性表述，陳子發(fā)現(xiàn)此表述至遲為公元前6—前7世紀，大約稍早于古希臘的畢達哥拉斯。傳統(tǒng)上認為定理證明是三國時期的趙爽完成的，而商高和陳子都沒有完成對于定理的證明。因此，中國數(shù)學史家錢寶琮建議在中國不必用人名來命名這個定理，而直接稱之為勾股定理。

　　但近年來，西北大學教授曲安京在綜合前輩學者的意見后指出，商高實際上已經(jīng)給出了對勾股定理的一般性證明。換言之，《周髀算經(jīng)》中周公與商高的對話既包括特例表述，又包括定理證明。

　　如此，勾股定理的證明年代從三國時期的趙爽前推到商高時代，也就是公元前10世紀前后，早于畢達哥拉斯學派證明的時代。值得進一步反思的是，如此《周髀算經(jīng)》中對勾股定理的證明，便早于對于它的普遍性表述，即早于陳子后來做出的表述。商高從特例開始，在證明了“理”之后，又回到了具體的例子。這中間缺乏普遍性表述，其在普遍性表述方面的價值沒有在古希臘數(shù)學中那么大。

　　饒有意味的是，中國的勾股定理證明不是按照希臘數(shù)學的方式展開，而是按照數(shù)形統(tǒng)一的方式進行證明，其中幾何學與算學聯(lián)系在一起。商高的證明如此，趙爽的證明也是如此。吳文俊先生認為：“與希臘歐幾里得幾何的形數(shù)割裂者恰恰相反，我國在數(shù)學發(fā)展過程中自始至終是把空間形式與數(shù)量關系融合在一起的，因而數(shù)系統(tǒng)的建立與臻于完備，以及代數(shù)學的發(fā)生發(fā)展，也始終與幾何學的發(fā)展貫穿在一起。到宋元之世天元也即未知數(shù)概念的明確引入，代數(shù)式與其代數(shù)運算的闡明，以及幾何代數(shù)化方法的逐漸成熟，更為解析幾何的創(chuàng)立開辟了道路�！�

　　無論東西方，對勾股定理或是畢達哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)都不是簡單孤立的數(shù)學事件，而是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現(xiàn)。數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)絕不是對特例的發(fā)現(xiàn)，而古希臘與中國以不同的證明思路佐證了各自對于此定理的獨立發(fā)現(xiàn)。中國《周髀算經(jīng)》中“寓理于算”、“形數(shù)統(tǒng)一”的證明傳統(tǒng)，區(qū)別于古希臘“算術與幾何證明分離”的傳統(tǒng)。

　　（作者單位：南開大學哲學院）

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