發(fā)布時間：2016-11-02 14:55

  本文關(guān)鍵詞：高斯分布，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用正態(tài)分布計算圖像中每個像素的變換。

N 維空間正態(tài)分布方程為

在二維空間定義為

其中 r 是模糊半徑 (r2 = u2 + v2)，σ 是正態(tài)分布的標準偏差。

在二維空間中，這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈正態(tài)分布的同心圓。分布不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權(quán)平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的權(quán)重，相鄰像素隨著距離原始像素越來越遠，其權(quán)重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見尺度空間實現(xiàn)。

理論上來講，圖像中每點的分布都不為零，這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應(yīng)用中，在計算高斯函數(shù)的離散近似時，在大概3σ距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計算也就可以忽略。通常，圖像處理程序只需要計算(6σ + 1) * (6σ + 1)的矩陣就可以保證相關(guān)像素影響。

除了圓形對稱之外，，高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算，這叫作線性可分。這也就是說，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看，這是一項有用的特性，因為這樣只需要 O(n * M * N) + O(m * M * N)計算，而不可分的矩陣則需要O(m * n * M * N)次計算，其中 M,N 是需要進行濾波的圖像的維數(shù)，m、n 是濾波器的維數(shù)。

對一幅圖像進行多次連續(xù)高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產(chǎn)生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同于一次半徑為 10 的高斯模糊效果，sqrt(6 * 6 + 8 * 8) = 10。根據(jù)這個關(guān)系，使用多個連續(xù)較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經(jīng)常使用高斯模糊。在進行欠采樣的時候，通常在采樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在采樣圖像中不會出現(xiàn)虛假的高頻信息。高斯模糊有很好的特性，如沒有明顯的邊界，這樣就不會在濾波圖像中形成震蕩。

 

將原來的模板改為：

     / 1   2   1 /

H = | 2   4   2  | * 1 / 16

     / 1   2   1 /

新的模板可一方面除去點狀噪聲，同時能較好地保留原圖像的對比度，因此該模板得到了廣泛的應(yīng)用。由于這個模板是通過二維高斯(Gauss)函數(shù)得到的，故稱為高斯模板。

 

 

 

 

 

高斯函數(shù)有兩個特性：  

  1：一個高斯函數(shù)跟另外一個高斯函數(shù)的卷積仍然是一個高斯函數(shù)，A*B=C   C的標準差的平方是A和B的標準差的平方和，也就是說卷積后的高斯函數(shù)更寬，模糊的效果更明顯（直觀上看，連續(xù)做高斯模糊運算，圖像會越來越模糊。）  

  2：高斯函數(shù)的傅立葉變換仍然是一個高斯函數(shù)，如果原來的高斯函數(shù)越寬（標準差越大），變換后的高斯函數(shù)就越窄（標準差越�。�，也就是說一個越寬的高斯函數(shù)，低通（高阻）濾波的效果越明顯，處理后的圖像的細節(jié)就越不清楚（更模糊）。  

  要對數(shù)字圖像做高斯模糊，就是用一個符合高斯函數(shù)分布的卷積核對數(shù)字圖像做卷積運算。  

  要確定的有標準差的大小，卷積核的大小，最后的比例系數(shù)的大小。  

  一個標準差為1.4的高斯5x5的卷積核：  

  2   4   5   4   2  

  4   9   12   9   4  

  5   12   15   12   5  

  4   9   12   9   4  

  2   4   5   4   2        

     最后乘以比例系數(shù)   1/115 

 

高斯（核）函數(shù)簡介

1函數(shù)的基本概念

所謂徑向基函數(shù) (Radial Basis Function 簡稱 RBF), 就是某種沿徑向?qū)ΨQ的標量函數(shù)。 通常定義為空間中任一點x到某一中心xc之間歐氏距離的單調(diào)函數(shù) , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當x遠離xc時函數(shù)取值很小。最常用的徑向基函數(shù)是高斯核函數(shù) ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc為核函數(shù)中心,σ為函數(shù)的寬度參數(shù) , 控制了函數(shù)的徑向作用范圍。

高斯函數(shù)具有五個重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數(shù)具有五個十分重要的性質(zhì)，它們是：

（1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉(zhuǎn)對稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測中不會偏向任一方向．

（2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權(quán)值是隨該點與中心點的距離單調(diào)增減的．這一性質(zhì)是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真．

（3）高斯函數(shù)的付立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號所污染(噪聲和細紋理)．而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號．

（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)σ表征的，而且σ和平滑程度的關(guān)系是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)σ，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷．

（5）由于高斯函數(shù)的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實現(xiàn)．二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積．因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長．

MATLAB代碼

close all;
clc;
alf=3;
n=7;%定義模板大小
n1=floor((n+1)/2);%確定中心
for i=1:n
a(i)= exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2));
for j=1:n
b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);
end
end
subplot(121),plot(a),title('一維高斯函數(shù)' );
subplot(122),surf(b),title('二維高斯函數(shù)' );

二 圖像濾波

1 圖像濾波的基本概念

圖像常常被強度隨機信號（也稱為噪聲）所污染．一些常見的噪聲有椒鹽（Salt & Pepper）噪聲、脈沖噪聲、高斯噪聲等．椒鹽噪聲含有隨機出現(xiàn)的黑白強度值．而脈沖噪聲則只含有隨機的白強度值（正脈沖噪聲）或黑強度值（負脈沖噪聲）．與前兩者不同，高斯噪聲含有強度服從高斯或正態(tài)分布的噪聲．研究濾波就是為了消除噪聲干擾。

圖像濾波總體上講包括空域濾波和頻域濾波。頻率濾波需要先進行傅立葉變換至頻域處理然后再反變換回空間域還原圖像，空域濾波是直接對圖像的數(shù)據(jù)做空間變換達到濾波的目的。它是一種鄰域運算，即輸出圖像中任何像素的值都是通過采用一定的算法，根據(jù)輸入圖像中對用像素周圍一定鄰域內(nèi)像素的值得來的。如果輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合則稱為線性濾波（例如最常見的均值濾波和高斯濾波），否則為非線性濾波（中值濾波、邊緣保持濾波等）。

線性平滑濾波器去除高斯噪聲的效果很好，且在大多數(shù)情況下，對其它類型的噪聲也有很好的效果。線性濾波器使用連續(xù)窗函數(shù)內(nèi)像素加權(quán)和來實現(xiàn)濾波。特別典型的是，同一模式的權(quán)重因子可以作用在每一個窗口內(nèi)，也就意味著線性濾波器是空間不變的，這樣就可以使用卷積模板來實現(xiàn)濾波。如果圖像的不同部分使用不同的濾波權(quán)重因子，且仍然可以用濾波器完成加權(quán)運算，那么線性濾波器就是空間可變的。任何不是像素加權(quán)運算的濾波器都屬于非線性濾波器．非線性濾波器也可以是空間不變的，也就是說，在圖像的任何位置上可以進行相同的運算而不考慮圖像位置或空間的變化。

2 圖像濾波的計算過程分析

濾波通常是用卷積或者相關(guān)來描述，而線性濾波一般是通過卷積來描述的。他們非常類似，但是還是會有不同。下面我們來根據(jù)相關(guān)和卷積計算過程來體會一下他們的具體區(qū)別：

卷積的計算步驟：

（2）       移動卷積核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

（3）       在旋轉(zhuǎn)后的卷積核中，將輸入圖像的像素值作為權(quán)重相乘

（4）       第三步各結(jié)果的和做為該輸入像素對應(yīng)的輸出像素

相關(guān)的計算步驟：

移動相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核

將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出

可以看出他們的主要區(qū)別在于計算卷積的時候，卷積核要先做旋轉(zhuǎn)。而計算相關(guān)過程中不需要旋轉(zhuǎn)相關(guān)核。

例如： magic(3) =[8 1 6;3 5 7;4 9 2][2 9 4;7 5 3;6 1 8]

三 高斯平滑濾波器的設(shè)計

  高斯函數(shù)的最佳逼近由二項式展開的系數(shù)決定，換句話說，用楊輝三角形（也稱Pascal三角形）的第n行作為高斯濾波器的一個具有n個點的一維逼近，例如，五點逼近為:

1 4 6 4 1

 5行．這一模板被用來在水平方向上平滑圖像．在高斯函數(shù)可分離性性質(zhì)中曾指出，二維高斯濾波器能用兩個一維高斯濾波器逐次卷積來實現(xiàn)，一個沿水平方向，一個沿垂直方向．實際中，這種運算可以通過使用單個一維高斯模板，對兩次卷積之間的圖像和最后卷積的結(jié)果圖像進行轉(zhuǎn)置來完成．

  設(shè)計高斯濾波器的另一途徑是直接從離散高斯分布中計算模板權(quán)值。為了計算方便，一般希望濾波器權(quán)值是整數(shù)。在模板的一個角點處取一個值，并選擇一個K使該角點處值為1。通過這個系數(shù)可以使濾波器整數(shù)化，由于整數(shù)化后的模板權(quán)值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區(qū)域不受影響，必須對濾波模板進行權(quán)值規(guī)范化。

 

 

 

  高斯濾波器的采樣值或者高斯濾波器的二項式展開系數(shù)可以形成離散高斯濾波器．當用離散高斯濾波器進行卷積時，其結(jié)果是一個更大的高斯離散濾波器．若一幅圖像用N*N離散高斯濾波器進行平滑，接著再用M*M離散高斯濾波器平滑的話，那么平滑結(jié)果就和用（N+M-1）*（N+M-1）離散高斯濾波器平滑的結(jié)果一樣．換言之，在楊輝三角形中用第N行和第M行卷積形成了第N+M-1行．

 

四 使用高斯濾波器進行圖像的平滑

 

。他們的調(diào)用方式如下：

 

Img_n = conv2(Img,g,'same');  和
Img_n = imfilter(Img,g,'conv');

 

這兩種函數(shù)處理的結(jié)果是完全一樣的。

 

    imfiler函數(shù)在默認的情況下，對圖像的濾波計算用的是相關(guān)

 

Img_n = imfilter(Img,g);%使用相關(guān)運算濾波

 

下面是一個簡單的例子展示了使用相同的高斯濾波核函數(shù)，相關(guān)運算和卷積運算對圖像平滑的效果可以直接后邊附的程序查看。

 

 

example.m

clear all

 

I = imread('lena.bmp');

 

Img = double(I);

 

alf=3;

 

 

 

for i=1:n

 

for j=1:n

 

b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);

 

end

 

end

 

Img_n = uint8(conv2(Img,b,'same'));

 

K=uint8(imfilter(Img,b));

 

 

J=(Img_n2)-Img_n;

flag=mean(J(

)

 

')

 

')

 

')

 

figure(2),surf(b);

  本文關(guān)鍵詞：高斯分布，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：162202