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一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1. 表示最小項的卡諾圖

將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰的排列起來，所得到的圖形叫做n變量最小項的卡諾圖。因為這種表示方法是由美國工程師卡諾（Karnaugh）首先提出來的，所以把這種圖形叫做卡諾圖。下圖畫出了二到五變量最小項的卡諾圖。

二到五變量最小項的卡諾圖

圖形兩側標注的0和1表示使對應小方格內的最小項為1的變量取值。同時，這些0和1組成的二進制數(shù)所對應的十進制數(shù)大小也就是對應的最小項的編號。

為了保證圖中幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也具有相鄰性，這些數(shù)碼不能按自然二進制數(shù)從小到達地順序排列，而必須按圖中的方式排列，以確保相鄰的兩個最小項僅有一個變量是不同的。

從二到五變量卡諾圖上還可以看到，處在任何一行或一列兩端的最小項也僅有一個變量不同，所以他們也具有邏輯相鄰性。因此，從幾何位置上應當把卡諾圖看成是上下、左右閉合的圖形。

在變量數(shù)大于等于5以后 ，僅僅用幾何圖形在兩維空間的相鄰性來表示邏輯相鄰性已經不夠了。如在五變量最小項的卡諾圖中，除了幾何位置相鄰的最小項具有邏輯相鄰性以外，以圖中雙豎線為軸左右對稱位置上的兩個最小項也具有邏輯相鄰性。

2. 卡諾圖表示邏輯函數(shù)

既然任何一個邏輯函數(shù)都能表示為若干最小項之和的形式，那么自然也就可以設法用卡諾圖來表示任意一個邏輯函數(shù)。具體的方法是首先把邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式，然后在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上填入1，在其余的位置上填入0，就得到了表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。即任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項之和。

例1：用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 

解：首先將Y化為最小項之和的形式

畫出四變量最小項的卡諾圖，在對應于函數(shù)式中各最小項的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如圖所示的Y的卡諾圖。

例2：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下，試寫出該函數(shù)的邏輯式。

解：因為函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項之和，所以有

二、  卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或圖形化簡法�；啎r依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項可以合并，并消去不同的因子。由于在卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，因而從卡諾圖上能直觀地找出那些具有相鄰性的最小項并將其合并化簡。

1.合并最小項的規(guī)則

(1) 若兩個最小項相鄰，則可合并為一項并消去一對因子。合并后的結果中只剩下公共因子。

(2)若四個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去兩對因子。合并后的結果中只包含公共因子。

(3)若八個最小項相鄰并且排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去三對因子。合并后的結果中只包含公共因子。

l 下圖給出了最小項相鄰的幾種情況

最小項相鄰的幾種情況圖

(a)(b) 兩個最小項相鄰 (c)(d) 四個最小項相鄰 (e) 八個最小項相鄰

至此，可以歸納出合并最小項的一般規(guī)則：如果有  個最小項相鄰（n=1，2，…）并排列成一個矩形組，則它們可以合并為一項，并消去n 對因子。合并后的結果中僅包含這些最小項的公共因子。

2. 卡諾圖化簡法的步驟

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時可按如下步驟進行：

(1)將函數(shù)化為最小項之和的形式。

(2)畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。

(3)找出可以合并的最小項。

(4)選取化簡后的乘積項。選取的原則：

n         這些乘積項應包含函數(shù)式中所有的最小項（應覆蓋卡諾圖中所以的1）

n         所用的乘積項數(shù)目最少，即可合并的最小項組成的矩形組數(shù)目最少

n         每個乘積項包含因子最少，即各可合并的最小項矩形組中應包含盡量多的最小項

例1：用卡諾圖化簡法將式  化簡為最簡與—或函數(shù)式

解：首先畫出表示函數(shù)Y的卡諾圖，如圖  

通過合并最小項，得出結果，

左圖： 

右圖： 

注：

l         在填寫Y的卡諾圖時，并不一定要將Y化為最小項之和的形式。

l         需要找出可以何并的最小項，將可能合并的最小項用線圈出，有時存在多種可能合并最小項的方案，所以有時一個邏輯函數(shù)的化簡結果不是唯一的。

例2：用卡諾圖法將  化為最簡與—或邏輯式

解：首先畫出Y的卡諾圖，然后把可能合并的最小項圈出，并按照前面所述的原則選擇化簡與—或式中的乘積項

最后得到結果 

l         補充說明：在以上的兩個例子中，我們都是通過合并卡諾圖中的1來求得化簡結果的。

但有時也可以通過合并卡諾圖中的0先求出  ，則

與合并1得到的化簡結果一致。

 此外，在需要將函數(shù)化為最簡的與或非式時，采用合并0的方式最為適宜，因為得到的結果正是與或非形式。如果要求得到  的化簡結果，則采用合并0的方式就更簡便了。

三、具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡

1. 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項

在分析某些具體的邏輯函數(shù)時，經常會遇到這樣一種情況，即輸入變量的取值不是任意的。對輸入變量取值所加的限制稱為約束。同時，把這一組變量稱為具有約束的一組變量。

例如，有三個邏輯變量A、B、C，它們分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止的命令，A=1表示正轉，B=1表示反轉，C=1表示停止。因為電動機任何時候只能執(zhí)行其中的一個命令，所以不允許兩個以上的變量同時為1。ABC 的取值只可能是001、010、100當中的某一種，而不能是000、011、101、110、111 中的任何一種。因此，A、B、C 是一組具有約束的變量。通常用約束條件來描述約束的內容，為方便起見采用邏輯語言表述約束條件。

由于每一組輸入變量的取值都使一個、而且僅有一個最小項的值為1，所以當限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時，可以用它們對應的最小項等于0來表示。這樣，上述例子中的約束條件可以表示為

或寫成 ： 

同時，把這些恒等于0的最小項叫做約束項。

有時還會遇到另外一種情況：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項稱為任意項。

由于約束項和任意項都不影響函數(shù)值，所以又把兩者統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)式中的無關項，既可以寫入函數(shù)式中，也可以不寫進去。一般情況在用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時，首先將函數(shù)化為最小項之和的形式，然后在卡諾圖中這些最小項對應的位置上填入1，其他位置上填入0。既然無關項可以包含也可以不包含在函數(shù)式中，那么在卡諾圖中對應的位置上填1或0都可以。為此，規(guī)定在卡諾圖中用×（或  ）表示無關項。在化簡邏輯函數(shù)時既可以認為它是1，也可以認為它是0。

四、無關項在化簡邏輯函數(shù)中的應用

化簡具有無關項的邏輯函數(shù)時，如果能合理利用這些無關項，一般都可得到更加簡單的化簡結果。

為達到此目的，加入的無關項應與函數(shù)式中盡可能多的最小項（包含原有的最小項和已寫入的無關項）具有邏輯相鄰性。合并最小項時，究竟把卡諾圖上的×作為1（即認為函數(shù)式中包含了這個最小項）還是作為0（即認為函數(shù)式中不包含這個最小項）對待，應以得到的相鄰最小項矩形組合最大、而且矩形組合數(shù)目最少為原則。

例3：化簡邏輯函數(shù)

 ，，

給定其約束條件

解：如果不利用約束項，則Y已無可化簡。但適當?shù)丶舆M一些約束項以后，可以得到

利用了約束項以后，使邏輯函數(shù)得以進一步化簡。但是代數(shù)法表示不夠直觀。從邏輯函數(shù)的卡諾圖上則表示得更清晰。

例4： 試化簡邏輯函數(shù)：

已知其約束條件為：

解：畫出函數(shù)Y的卡諾圖，

于是得到 ：

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