本文關(guān)鍵詞：醫(yī)學信號處理　　

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醫(yī)學信號處理1第三章 線性時不變系 統(tǒng)對隨機信號的響應(yīng)要解決的問題：已知輸入信號的統(tǒng)計特性， 其經(jīng)過線性移不變系統(tǒng)后輸出的統(tǒng)計特性類型有連續(xù)、 離散系統(tǒng)， 有二端、 多端系統(tǒng)， 要分別進行分析。 醫(yī)學信號處理2確定信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)：時域為卷積關(guān)系y(t)=x(t)*h(t)頻域為乘積關(guān)系Fy(ω)=H(ω)Fx(ω)x(t) Fx(ω) y(t) Fy(ω) h(t) H(ω)h(t)H(ω)x(t)Fx(ω)y(t)Fy(ω) 醫(yī)學信號處理3h(t)H(ω)Rx(τ)Sx(ω)Ry(τ)Sy(ω)Rxy(τ)Sxy(ω)當輸入信號x(t)是隨機信號時， 由于隨機信號不存在傅立葉變換， 就不能對時域卷積做傅立葉變換。所以， 研究隨機信號通過LTI系統(tǒng)的任務(wù)就是： 研究輸入和輸出間的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)間的關(guān)系。具體為輸出、 輸入信號之間自 相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系、 輸入和輸出間互相關(guān)函數(shù)和互譜， 并把它們和沖激響應(yīng)與頻率特性聯(lián)系起來。h(t)H(ω)x(t)Fx(ω)y(t)Fy(ω) 醫(yī)學信號處理4§ 3.1連續(xù)隨機信號通過LTI 系統(tǒng)§ 3.1.1二端LTI 系統(tǒng)一、二端LTI 系統(tǒng)本章所有結(jié)論的適用條件為輸入為平穩(wěn)的， 而系統(tǒng)為穩(wěn)定的LTI 系統(tǒng)。 則輸出為平穩(wěn)輸出信號。 醫(yī)學信號處理51、 輸出均值式中H(0)是系統(tǒng)的頻率特性在ω=0時的值。輸出信號的均值等于輸入隨機信號均值乘以系統(tǒng)頻率特性的直流分量。 醫(yī)學信號處理62、 輸入輸出互相關(guān)函數(shù) 3、 輸出隨機信號的自相關(guān)函數(shù)輸出隨機信號的自相關(guān)函數(shù)等于輸入輸出互相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的負卷積， 還等于輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的正負兩次卷積。 醫(yī)學信號處理84、 功率譜 醫(yī)學信號處理9h(τ)Rx(τ)Rxy(τ)h(-τ)Ry(τ)輸入自相關(guān)函數(shù)、 輸出自相關(guān)函數(shù)、輸入輸出互相關(guān)函數(shù)三者之間關(guān)系 醫(yī)學信號處理105、 對協(xié)方差有類似公式 醫(yī)學信號處理11二、兩個隨機過程的相干函數(shù)兩個隨機過程x(t)和y(t)的相干函數(shù)定義一為：如果x(t)和y(t)是某一線性系統(tǒng)的輸入和輸出如果x(t)和y(t)不相關(guān) 醫(yī)學信號處理12可見， 相干函數(shù)是從頻域來描述兩個隨機信號各頻率成分之間互相關(guān)聯(lián)的程度。如果輸入輸出隨機信號的相干函數(shù)大于0而小于1，則存在兩種可能：1、 聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)是非線性的；2、 測量值中含有外界噪聲， 即x(t)和y(t)是信號和噪聲的疊加。 醫(yī)學信號處理13兩個隨機序列x(n)和y(n)的相干函數(shù)定義二為：用rxy(0)、 rxy(m)代入上式得到： 醫(yī)學信號處理14§ 3.1.2多端LTI 系統(tǒng)生理信號的測量和處理往往要同時記錄多通道信號。 例如， 記錄腦電圖， 商業(yè)腦電圖機有128導聯(lián)， 記錄心電圖常用3導聯(lián)和12導聯(lián)。處理這些信號需要考慮各導信號間的相互作用。這就需要研究多輸入、 多輸出情況。先從二輸入、 二輸出開始。 醫(yī)學信號處理15h11，H11x1(t)y11(t) ++∑y1(t)h22，H22+∑+x2(t)y2(t)y21(t)y12(t)y22(t) 醫(yī)學信號處理16輸入信號的功率譜和互譜所組成的2×2譜陣：輸出信號的功率譜和互譜所組成的2×2譜陣：輸入、 輸出信號之間的互譜所組成的2×2譜陣： 醫(yī)學信號處理17系統(tǒng)各端口間各頻率特性所組成的矩陣：則：（2.1） 醫(yī)學信號處理18§ 3.2離散隨機信號通過LTI 系統(tǒng)∑−∞=k∞−=∗=knhkxnhnxny)()()()()(LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(n)， 輸入離散隨機信號是一個平穩(wěn)隨機過程的一個取樣序列， 系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出信號y(n)也是一個離散隨機信號， 它是另一隨機過程的一個取樣序列。 對于系統(tǒng)來講， 輸入、 輸出信號和系統(tǒng)沖激響應(yīng)存在下列關(guān)系：下面研究輸出隨機序列的特征參數(shù)，， 以及輸入輸出隨機序列這些參數(shù)的關(guān)系。 醫(yī)學信號處理19∑−∞=k∑−∞=k∞∞−=−==yknxkhEknxkhEnyEm)]()([] )()([)]([xmknxEnxE=−=)]([)]([)()(0 jxxkyeHmmkhm==∑∞−∞=1、 輸出隨機序列均值H(ej0)為系統(tǒng)的頻率特性在ω =0時的值由于輸入隨機過程為平穩(wěn)隨機過程 醫(yī)學信號處理20( ,n n)[ ( ) (E y n y n)][( ) (h k x n)( ) (h r x n)]( )h k( ) [ (h r E x n) (k x n)]yykrkrRmmEkm r−m r−∞∞=−∞∑=−∞∑∞∞=−∞∑=−∞∑+=+=−+=−+2、 輸出隨機過程的自相關(guān)序列[ () (k x n)]()xxE x nmrRmkr−+−=R+ −m+由于：( ,n n)( )h k( )h r R()yyxxkrmkr∞∞=−∞∑=−∞∑=+−所以： 醫(yī)學信號處理21從上式看出： 輸出隨機序列的自相關(guān)序列只與時間差m有關(guān)， 而與時間起點的選擇（即n的選�。� 無關(guān)，故有Ryy(n,n+m)=Ryy(m)， 則上式可化簡為：( )m( )h k( )h r R()yyxxkrRmkr∞∞=−∞∑=−∞∑=+−( )m()( ) (h k h l)()( )=l( )m( )myyxxlkxxhhxxhhlRRmlkRm l R−RR∞∞=−∞∑=−∞∑∞=−∞∑=−+=∗( )l( ) (h k h l)( )()hhkRkh lhl∞=−∞∑=+=∗−其中，令l = r-k， 可表示為 （可考慮其他方法推導） 醫(yī)學信號處理22結(jié)論： 確定信號的輸出等于輸入信號與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積；隨機信號的輸出過程的自相關(guān)函數(shù)， 等于輸入信號的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)的線性卷積；確定性離散時間信號作用 于LTI系統(tǒng)與隨機性離散時間信號作用 于LTI系統(tǒng)非常類似。( )m()( )=l( )m( )myyxxhhxxhhlRRml RRR∞=−∞∑=−∗ 醫(yī)學信號處理233、 輸出隨機過程的功率譜( )m( )m( )myyxxhhRRR=∗上面式子等號兩端進行Z變換， 得到：( )z( )z S( )zyyxxhhSS=Sxx(z)和Syy(z)分別等于Rxx(m)和Ryy(m)的Z變換( )z( )m z( )z( )m zmyyyymmxxxxmSRSR+∞∑−=−∞+∞∑−=−∞== 醫(yī)學信號處理24Shh(z)是Rhh(z)的Z變換， 得到：1( )z( )m z( )()mhhhhmSRH z H z+∞∑−−=−∞==21z( )z( )z H z H( )()( )h n( )z( )z H z( )yyxxyyxxSSSS∗∗==于是， 有：如果為實序列， 則有：( )1( )h n( )z( )()hhH zSH z Hz∗∗=是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如果是復(fù)序列， 則( )z( )z S( )zyyxxhhSS=由可得 醫(yī)學信號處理25物理意義： 一個隨機信號通過系統(tǒng)， 從頻域看其輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模平方的乘積。1( )z( )()hhSH z H z−=2( )z( )z H z( )yyxxSS=于是得到：|H(z)|為H(z)的模。如果系統(tǒng)穩(wěn)定， 那么Syy(z)的收斂域包含單位圓， 有2()()()jωjωjωyyxxSeSeH e= 醫(yī)學信號處理264、 輸入隨機過程和輸出隨機過程的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度( )m[ ( ) (E x n y n)][ ( )E x n( ) (h k x n)]( ) [ ( ) (h k E x n x n)]( )h k R()( )m( )h mxykkxxxxkRmmkmkmkR∞=−∞∑∞=−∞∞∑=−∞=+=+−=+−=−=∗∑系 統(tǒng)的輸入信號與輸出信號之間的互相關(guān)序列， 等于輸入信號自 相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的線性卷積。 醫(yī)學信號處理27( )m( )m()yyxyRRhm=∗−( )l( ) (h k h l)( )h m()hhk===Rkhm∞=−∞∑=+=∗−餛( )m( )m( )m( )m( )xxm( )h m( )h m∗()yyxxhhxxRRRRRhm∗∗∗−( )mxyR∴h(m)Rxx(m)Rxy(m)h(-m)Ryy(m)輸入自相關(guān)函數(shù)、 輸出自相關(guān)函數(shù)、輸入輸出互相關(guān)函數(shù)三者之間關(guān)系 醫(yī)學信號處理28設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在） ， 將式(2.8)與式(2.9)轉(zhuǎn)換到z域有，( )( )xySzH z S=( )(yySzH z=用功率譜表示有( )z( )z( )z( )( )( )( )z( )z( )zxyxyxyxxxxxxSSSH z SH z SH z S===( )zxx1)( )zxyS−( )ω()( )ωjωxyxxSH eS=( )ω()( )ωjωyyxySH eS−= 醫(yī)學信號處理292( )m( )mxxxxRσσ δ=2應(yīng)用舉例：如果輸入為零均值平穩(wěn)白噪聲信號， 其方差為,自相關(guān)序列為沖激函數(shù)則12x( )m[( )]ω2xσ=1( )mxxxxRFSσ δ=( )h m−=( )mxyR2x()()jωjωxyH eSeσ=結(jié)論： 輸入一個零均值平穩(wěn)白噪聲， 就可以通過計算系統(tǒng)輸入輸出之間的互相關(guān)序列或互功率譜， 來求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或頻率特性。求輸入零均值平穩(wěn)白噪聲的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。 醫(yī)學信號處理30ωaωb1如圖為一理想帶通濾波器的頻率特性H(ejω)， 當輸入端作用 一個功率譜為Sxx(ejω)、 均值為0的平穩(wěn)隨機過程，求輸出 響應(yīng)的平均功率。2()()()jωjωjωyyxxSeSeH e=1( )m()2πjωj mωyyyyRSeedωππ−=∫ 醫(yī)學信號處理311(0)()2πjωyyyyRSedωππ−=∫2n1[](0)()2πjωyyyyE yRSedωππ−==∫2a2n20()()1[](0)()2π1=()()1=()bjωjωyyjωyyyyjωjωxxjωxxSeH eE yRSedωSeH edωSedωππ−πωω∫ωππ==∫∫由于和都是的偶函數(shù)， 醫(yī)學信號處理32a2n1[]=()bjωxxE ySedωωωπ∫上面式子等號右邊積分代表輸入信號無衰減地通過帶通濾波器的總功率， 該總功率除以π， 代表輸入信號在該頻帶內(nèi)的平均功率， 式子左邊為輸出信號的平均功率。 醫(yī)學信號處理332n11[](0)=( )z z dz2π1()2πSyyyycjωyyE yRSjSedωππ−−==∫鷓∫z H z5、 輸出隨機過程均方值：2( )z( )( )yyxxS=22n11[]( )z H z( )2πxxcE ySz dzj−=∫ 鷓 醫(yī)學信號處理34例題： 有一LTI系 統(tǒng)， 其系統(tǒng)函數(shù)為11( )=10.25H zz−−當 輸入端作用 一個白噪聲w(n)時， 在其輸出端得到一個隨機信號x(n)。 設(shè)白噪聲 方差等于1， 即機信號x(n)的自 相關(guān)序列。=1， 求隨2xσ 醫(yī)學信號處理35解：2w111z1114 /15−11( )z( )()(10.25)(0.25)16 /150.2516 /150.25−10.2516 /1514−1xxSH z H zzzzzzzσ=−−−−−−−−=−−=+−=−將上式進行z反變換， 得：16 116( )m( )u m4(1)15 41516 115 4mmxxmRum  =+×−−  = 醫(yī)學信號處理36作業(yè)：1、 令y(t)=x(t-D)+v(t)為接收信號， 式中D表示信號x(t)的傳播延時， 已知x(t)和v(t)是相互獨立的零均值的平穩(wěn)隨機過程， 且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為：求互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度( )τ,( )τ( )xvRAeRBδ τβ τ−==( )τxyR( )xyP ω 醫(yī)學信號處理37• 2、 將式（2.1） 展開推出的表達式。)(ω)(ω)(ω)(ω22122111yxyxyxyxssss、、、