發(fā)布時(shí)間：2017-11-11 17:45

  本文關(guān)鍵詞：幾何學(xué)

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跟y坐標(biāo)平行的直線都是鐵維，是另外的－個(gè)空間。原因是這樣的：你把它這樣改了之后，那條直線就不一定要直線，可以是任何另外一個(gè)空間了。這樣可以確定空間里點(diǎn)用另外一組坐標(biāo)來表示。所以有時(shí)候科學(xué)或數(shù)學(xué)不一定完全進(jìn)步了，有時(shí)候反而退步了（笑聲）。笛卡兒用了這個(gè)坐標(biāo)，就發(fā)現(xiàn)，我們不一定要用Cartesian坐標(biāo)，可以用其它坐標(biāo)，比如極坐標(biāo)。平面上確定一個(gè)點(diǎn)，稱為原點(diǎn)，過這點(diǎn)畫一條射線，稱為原軸。這樣平面上的點(diǎn)，一個(gè)坐標(biāo)是這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，另外一個(gè)是角度，是這點(diǎn)與原點(diǎn)的聯(lián)機(jī)與原軸的相交的角度，這就是極坐標(biāo)。因此極坐標(biāo)的兩個(gè)坐標(biāo)，一個(gè)是正數(shù)或零，另外一個(gè)是從零到360度的角度。當(dāng)然我們都知道，還可以有許多其它的坐標(biāo)，只要用數(shù)就可以確定坐標(biāo)。因此，后來大家弄多了的話，就對(duì)幾何作出了另外一個(gè)革命性的貢獻(xiàn)，就是說，坐標(biāo)不一定要有意義。只要每級(jí)數(shù)能定義一個(gè)點(diǎn)，我們就把它叫坐標(biāo)。從而幾何性質(zhì)就變成坐標(biāo)的一個(gè)代數(shù)性質(zhì)，或者說分析的性質(zhì)。這樣就把幾何數(shù)量化了，幾何就變成形式化的東西了。這個(gè)影響非常之大，當(dāng)然這個(gè)影響也不大容易被接受，比如愛因斯坦。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)他的相對(duì)論，特殊相對(duì)論是在1908年，而廣義相對(duì)論是在1915年，前后差了7年。愛因斯坦說，為什么需要7年我才能從特殊相對(duì)論過渡到廣義相對(duì)諭呢？他說因?yàn)槲矣X得坐標(biāo)都應(yīng)該有幾何或物理意義。愛因斯坦是一個(gè)對(duì)學(xué)問非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜�，他覺得沒有意義的坐標(biāo)不大容易被接受，所以耽誤了他很多年，他才不能不接受，就是因?yàn)榭臻g的概念被推廣了。
同樣我回頭再講一點(diǎn)歐幾里德。那時(shí)的歐幾里德的《幾何原本》并不僅僅是幾何，而是整個(gè)數(shù)學(xué)。因?yàn)槟菚r(shí)候的數(shù)學(xué)還沒有發(fā)現(xiàn)微積分，無窮的觀念雖然已經(jīng)有了，不過不怎么普遍。我再說一點(diǎn)，就很可惜的是歐幾里德的身世我們知道得很少，只知道他大概生活在紀(jì)元前三百年左右。他是亞歷山大學(xué)校的幾何教授，他的《幾何原本》大概是當(dāng)時(shí)的一個(gè)課本。亞歷山大大學(xué)是希臘文化最后集中的一個(gè)地方。因?yàn)閬啔v山大自己到過亞歷山大，因此就建立了當(dāng)時(shí)北非的大城，靠在地中海。但是他遠(yuǎn)在到亞洲之后，我們知道他很快就死了。之后，他的大將托勒密（PtolelmyySoter）管理當(dāng)時(shí)的埃及區(qū)域。托勒密很重視學(xué)問，就成立了一個(gè)大學(xué)。這個(gè)大學(xué)就在他的王宮旁邊，是當(dāng)時(shí)全世界偉大的大學(xué)，設(shè)備非常好，有許多書。很可惜由于宗教的原因，由于眾多的原因，現(xiàn)在這個(gè)學(xué)校被完全毀掉了。當(dāng)時(shí)的基督教就不喜嘆這個(gè)學(xué)校，己經(jīng)開始被毀了，然后回教人占領(lǐng)了北非之后，就大規(guī)地破壞，把圖書館的書都拿出來燒掉。所以現(xiàn)在這個(gè)學(xué)校完全不存在了。
幾何是很重要的，因?yàn)榇蠹矣X得幾何就是數(shù)學(xué)。比方說，現(xiàn)在還有這一印象，法國的科學(xué)院，它的數(shù)學(xué)組叫做幾何組。對(duì)于法國來講，搞數(shù)學(xué)的不稱數(shù)學(xué)家，而叫幾何學(xué)家，這都是受當(dāng)時(shí)幾何的影響。當(dāng)時(shí)的幾何比現(xiàn)在的幾何的范圍來得廣。不過從另一方面講現(xiàn)在的范圍更廣了，就是我剛才講到的坐標(biāo)不一定有意義。一個(gè)空間可以有好幾種坐標(biāo)，那么怎樣描述空間呢？這就顯得很困難啦，因?yàn)榭臻g到底有什么樣的幾何性質(zhì)，這也是一個(gè)大問題。高斯與黎曼建立和發(fā)展了這方面的理論。高斯是德國人，我想他是近代數(shù)學(xué)最偉大的一個(gè)數(shù)學(xué)家。黎曼實(shí)際上是他的繼承人，也是德國教學(xué)家。他們都是哥廷根大學(xué)的教授�？上У氖抢杪羁磿r(shí)身體不好，有肺結(jié)核病，四十歲就死了。他們的發(fā)展有一個(gè)主要目的，就是要發(fā)展一個(gè)空間，它的坐標(biāo)是局部的�？臻g里只有坐標(biāo)，反正你不能講坐標(biāo)是什么，只知道坐標(biāo)代表一個(gè)點(diǎn)，所以只是一小塊里的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示。因此雖然點(diǎn)的性質(zhì)可以用解析關(guān)系來表示，但是如何研究空間這就成了大問題。
在這個(gè)之前，我剛才又忘了一個(gè)，就是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)是歐幾里德的書，但是歐幾里德的書出了一個(gè)毛病。因?yàn)闅W幾里德用公理經(jīng)過邏輯的手段得到結(jié)論。例如說，三角形三角之和一定等于180度，這是了不得的結(jié)果。歐幾里德可以用公理幾步就把它證明了，是一個(gè)結(jié)諭。這個(gè)比現(xiàn)代的科學(xué)簡單得多了。我們剛才聽了很多話，科學(xué)家做科學(xué)研究，第一樣就是跟政府要錢，跟社會(huì)要錢，說你給了我錢，我才能做實(shí)驗(yàn)。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)是科學(xué)的基礎(chǔ)。但是這樣一來就會(huì)有許多的社會(huì)問題和政治問題。歐幾里德說，你給我一張紙，我只要寫幾下，就證明了這個(gè)結(jié)果。不但如此，我是搞數(shù)學(xué)的，我說數(shù)學(xué)理論還有優(yōu)點(diǎn)，數(shù)學(xué)的理論可以預(yù)測實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。不用實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)可以得到結(jié)論，然后用實(shí)驗(yàn)去證明。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)有時(shí)的證明不對(duì)，也許你的理論就不對(duì)了，那當(dāng)然也有這個(gè)毛病。歐幾里德的公理是非常明顯的，但是他有一個(gè)有名的公里叫第五公設(shè)出了問題。這個(gè)第五公設(shè)講起來比較長，但是簡單地說，就是有一條直線與線外一點(diǎn)，經(jīng)過這點(diǎn)只有一條直線與這條已給的直線平行。這個(gè)你要隨便畫圖的詁，覺得相當(dāng)可信�？墒悄阋獓�(yán)格追問的話，這個(gè)公理不大明顯，至少不如其它公理這樣明顯。所以這個(gè)第五公設(shè)對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界喜歡思想的人是個(gè)大問題。當(dāng)時(shí)最理想的情形是：第五公設(shè)可以用其它的公理推得，變成一個(gè)所謂的定理。那就簡單化了，并且可做這個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們搞數(shù)學(xué)的人有一個(gè)簡單的方法，就是我要證明這個(gè)公理，我先假定這個(gè)公理不對(duì)，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就證明它是對(duì)的了。這就是所謂間接證明法。有人就想用這個(gè)方法證明第五公設(shè)，但是都失敗了。我們現(xiàn)在知道這個(gè)第五公設(shè)并不一定對(duì)，經(jīng)過一點(diǎn)的并行線可以有無數(shù)條，這就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，它的社會(huì)意義很大，因?yàn)樗硎究臻g不一定只有一個(gè)。西洋的社會(huì)相信上帝只有一個(gè)，怎么會(huì)有兩個(gè)空間，或者很多個(gè)空間呢？當(dāng)時(shí)這是個(gè)很嚴(yán)重的社會(huì)問題。不止是社會(huì)問題，同時(shí)也是哲學(xué)問題。像德國大哲學(xué)家康德，他就覺得只能有歐氏幾何，不能有非歐幾何。所以當(dāng)時(shí)這是一個(gè)很大的爭論。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)一個(gè)是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一個(gè)是Lobachevski，俄國人，在1847年。不過我剛才講到大數(shù)學(xué)家高斯，我們從他的種種著作中知道他完全清楚，但他沒有把它發(fā)表成一個(gè)結(jié)論，因?yàn)榘l(fā)表這樣一個(gè)結(jié)論，是可以遭到別人反對(duì)的。因此就有這么一個(gè)爭論。等到意大利的幾何學(xué)家Beltrami，他在歐幾里德的三維空間里造了一個(gè)曲面，R回曲面上的幾何就是非歐幾何，這對(duì)于消除大家的懷疑是一很有利的工具。因?yàn)樯鲜鼋Y(jié)果是說，假定有一個(gè)三維的歐幾里德空間，就可以造出一個(gè)非歐幾何的空間來，所以在歐幾里德的幾何中亦有非歐幾何。你假定歐幾里德幾何，你就得接受非歐幾何，因此大家對(duì)非歐幾何的懷疑有種種的方法慢慢給予解除。
我剛才講到高斯與黎曼把坐標(biāo)一般化，使坐標(biāo)不一定有意義，這對(duì)幾何學(xué)產(chǎn)生的問題可大了。因?yàn)榭臻g就變成一塊一塊拼起來的東西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空間有不同的性質(zhì)呢？甚至怎么區(qū)別不同的空間？我這里有幾個(gè)圓，畫了幾個(gè)不同的空間，可惜我沒法把它投影出來。不過，總而言之空間的個(gè)數(shù)是無窮的，有很多很多不同的空間�，F(xiàn)在對(duì)于研究幾何的人就產(chǎn)生一個(gè)基本問題，你怎橡去研究它。這樣一個(gè)基本的學(xué)問現(xiàn)在就叫Topology，拓樸學(xué)。它是研究整個(gè)空間的性質(zhì)，如什應(yīng)叫空間的連續(xù)性，怎樣的兩個(gè)空間在某個(gè)意義上是相同的，等等。這樣就發(fā)展了許多許多的工具。這個(gè)問題也討論了。黎曼生活在1826~1866年。德國的教學(xué)制度在博士畢業(yè)之后，為了有資格在大學(xué)教書，一定要做一個(gè)公開演講，這個(gè)公開的演講就是所謂的Habilitationschrift.黎曼在1854年到哥廷根大學(xué)去做教授，做了一個(gè)演講，這個(gè)在幾何上是非�；镜奈墨I(xiàn)，就討論了這些問題。如何研究這種空間呢？要研究這種空間，如果你只知道空間是隨便追磨一塊塊拼起來的話，就沒有什么可以研究的了。于是你往往需要一個(gè)度量，至少你知道什么叫兩點(diǎn)之間的距離，你怎應(yīng)去處理它呢？就需要解析的工具。往往你把距離表為一個(gè)積分，，用積分代表距離。黎曼的這篇1854年的論文，是非常重要的，也是幾何里的一個(gè)基本文獻(xiàn)，相當(dāng)一個(gè)國家的憲法似的。愛因斯坦不知道這篇論文，花了七年的時(shí)間想方設(shè)法也要發(fā)展同樣的觀念，所以愛因斯坦浪費(fèi)了許多時(shí)間。黎曼這篇論文引進(jìn)的距離這個(gè)觀念，是一個(gè)積分，在數(shù)學(xué)界一百多年來有了很大的發(fā)展。第一個(gè)重要的發(fā)展是黎曼幾何應(yīng)用到廣義相對(duì)論，是相對(duì)論的一個(gè)基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)�，F(xiàn)在大家要念數(shù)學(xué)，尤其要念幾何學(xué)的話，黎曼幾何是一個(gè)最主要的部分，這個(gè)也是從黎曼的演講開始的�，F(xiàn)在黎曼幾何的結(jié)果多得不得了，不但是幾何的基礎(chǔ)，可能也是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。

我剛才提到一百多年來的發(fā)展。所謂的黎曼幾何實(shí)際上是黎曼的論文的一個(gè)簡單的情形，是某個(gè)情形。黎曼原來的意思，廣義下的意思，有個(gè)人做了重要的工作，是一個(gè)德國人Finsler。所以這部分的幾何就叫Finsler幾何。他在1918年在哥廷根大學(xué)寫了一篇博士論文，就講這個(gè)幾何。這個(gè)幾何后來發(fā)展不大多，因?yàn)榇蠹也恢涝趺崔k。如果這個(gè)度量的積分廣了一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)就變復(fù)雜了，不像黎曼的某個(gè)情形這樣簡單。黎曼這情形也不簡單。黎曼普通地就寫了一個(gè)ds的平方等于一個(gè)兩次微分式，這個(gè)兩次微分式積分一下就代表弧的長度。怎樣研究這樣的幾何，這是需要一個(gè)像黎曼這種天才才有這個(gè)辦法。黎曼就發(fā)展了他所謂的黎曼曲率張量。你若要搞這類幾何的話，就要有張量的觀念。而空間的彎曲性，這個(gè)彎曲性解析表示出來也比較復(fù)雜了，就是黎曼的曲率張量。我們現(xiàn)在大家喜歡講得獎(jiǎng)。我們今天發(fā)獎(jiǎng)，有獎(jiǎng)金，要社會(huì)與政府對(duì)你的工作尊重。當(dāng)年的時(shí)候你要搞數(shù)學(xué)的話，如果沒有數(shù)學(xué)教授的位置，就沒有人付你工資。一個(gè)主要的辦法就是得獎(jiǎng)金。有幾個(gè)科學(xué)院它給獎(jiǎng)金，得了獎(jiǎng)金后你當(dāng)然可以維持一段時(shí)間，因此就很高興。不過很有意思的是我想Riemann~Christofell曲率張量是一個(gè)很偉大的發(fā)現(xiàn)，黎曼就到法蘭西科學(xué)院申請獎(jiǎng)金。科學(xué)院的人看不懂，就沒有給他。所以諸位，今天坐在前排幾位你們都是得獎(jiǎng)人，都是得到光榮的人，我們對(duì)于你們寄予很大的期望，后面幾排的大多數(shù)人沒有得過獎(jiǎng)，不過我安慰大家，沒得過獎(jiǎng)不要緊，沒得過獎(jiǎng)也可以做工作。我想我在得到學(xué)位之前，也沒有得過獎(jiǎng)。得不得到獎(jiǎng)不是一個(gè)很重要的因素，黎曼就沒有得到獎(jiǎng)。他的Riemann~Christofell張量在法蘭西的科學(xué)院申請獎(jiǎng)沒有得到。
最近雖然在黎曼幾何上有很多發(fā)展，非常了不得的發(fā)展，但是大家對(duì)于一般的情形，黎曼論文的一般情形Finsler幾何，沒有做很多貢獻(xiàn)。很巧的是我在1942年曾寫了一篇Finsler幾何的論文，就是找能把黎曼幾何的結(jié)果做到Finsler幾何的情形。最近，有兩位年輕的中國人，一個(gè)叫鮑大維，一個(gè)叫沈忠民，我們合寫了一本關(guān)于Finsler幾何的書。這本書就要在Springer~Verlag出版，屬于它的GraduateyTexts數(shù)學(xué)叢書。編輯對(duì)于我們的書也很喜歡，給了我們一個(gè)很有意思的書號(hào):200。書就在這里，我想這本書等會(huì)我會(huì)交給谷超豪教授，就把它放在復(fù)旦大學(xué)的某個(gè)圖書館里（掌聲）。我們這本書有一個(gè)小小的成就，就是把近一百年來最近在黎曼幾何上的發(fā)現(xiàn)，我們把它推廣到一般的情形，即黎曼~Finsler情形。這是黎曼當(dāng)年的目的。黎曼當(dāng)然非常偉大，不過他對(duì)于一般的情形不是很重視，他甚至在他的文章里講這里沒有新的東西，我們就把他說的沒有新的東西做了一些出來。
我知道我旁邊坐了兩位偉大的物理學(xué)家。接下去我想班門弄斧一下，談一下物理與幾何的關(guān)系。我覺得物理學(xué)里有很多重要的工作，是物理學(xué)家要證明說物理就是幾何。比方說，你從牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律開始。牛頓的第二定律說，F(xiàn)＝ma，F(xiàn)是力，m是質(zhì)量，a是加速度，加速度我們現(xiàn)在叫曲率。所以右邊這一項(xiàng)是幾何量，而力得當(dāng)然是物理量。所以牛頓費(fèi)了半天勁，他只是說物理就是幾何（大笑，掌聲）。不但如此，愛因斯坦的廣義相對(duì)論也是這樣。愛因斯坦的廣義相對(duì)論的方程說yyy是Ricci曲率，R是scalarycurvature，即標(biāo)量曲面，K是常數(shù)，是energyystressytensor,即能量~應(yīng)力張量。你仔細(xì)想想，他的左邊是幾何量，是從黎曼度量得出來的一些曲率。所以愛因斯坦的重要方程式也就是說，幾何量等于物理量（掌聲）。不止是這些，我們可以一直講下去。我們現(xiàn)在研究的空間叫流形，是一塊塊空間拼起來的。這個(gè)流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能夠用方程寫下來的話，你一定要把流形線性化，一定要有一個(gè)所謂的矢量空間，叫vectoryspace。矢量空間有一個(gè)好處，它的矢量可以相加，可以相減，它還有種種不同的乘法。所以你就可以用解析的方法處理幾何的情形。那么一般的流形怎么處理呢？數(shù)學(xué)家的辦法很簡單，就是在流形的每一點(diǎn)弄一個(gè)切平面。每一點(diǎn)都有個(gè)矢量空間，叫切空間，跟它相切、歐幾里德空間只有一個(gè)切空間。現(xiàn)在的空間情沉復(fù)雜了一些，每點(diǎn)都有一個(gè)切空間，但都是平坦空間。這個(gè)現(xiàn)象在幾何上有一個(gè)重大的發(fā)展，就是把切空間豎起來。反正是一把矢量空間，給流形的每點(diǎn)一個(gè)矢量空間，不一定要是流形的切面或切空間。我們就叫它為纖維叢，或叫矢量叢，矢量空間叢。這個(gè)我想比愛因斯坦的（相對(duì)論）還要重要。Maxwell方程就是建立在一個(gè)矢量叢上。你不是要一把矢量空間嗎？最好的是一把筷子，這里一維最好是復(fù)一維，complex。這把筷子每個(gè)都是復(fù)空間，它是騙人的一維，其實(shí)是二維，是復(fù)數(shù)空間。復(fù)數(shù)就有玩意兒了�，F(xiàn)在是一把復(fù)線，你如果能有法子從這個(gè)纖維到另外一個(gè)纖維有一個(gè)我們所謂的平行性的話，你就立刻得到Maxwell方程。現(xiàn)代文明都靠電，控制電的方程的是Maxwell方程�，F(xiàn)在纖維叢上有一個(gè)平行性，這個(gè)平行性的微分，等于電磁場的強(qiáng)度F，然后你把這個(gè)F再求它的另外一種微分（余微分）的話，就得到currentyvectorJ，即流矢量。用兩個(gè)簡單的式子，就把Maxwell方程寫出來了。普通你要念電磁學(xué)的書的話，當(dāng)然需要了解電磁的意義。我不了解。但是要了解電磁學(xué)的意義，把方程全部寫出來的話，書上往往是一整頁，種種的微分呀什么的講了一大堆。其實(shí)簡單地說，也就是平行性的微分是場的強(qiáng)度，而場的強(qiáng)度經(jīng)過某個(gè)運(yùn)算就得到它的流矢量。這就是Maxwell方程，與原來的完全一樣。所以Maxwell方程就是建立在一維的纖維叢上，不過是一個(gè)復(fù)一維的纖維叢。你怎樣把每個(gè)纖維維拼起來呢？我們需要群的覲念。有一個(gè)群，群里有一個(gè)運(yùn)算，把一個(gè)纖維可以挪到其它一個(gè)纖維。纖維如果是一維的，即使是復(fù)一維的話，我們需要的群仍舊是可交換的群，叫做Abelygroup，楊振寧先生了不得。他可以用到一個(gè)非Abel群，也很簡單，我們叫做SU（2）群。用SU（2）connection,把同樣的方程式寫出來，就是Yang~Mills方程，DA=F。這有不得了的重要性。我們搞幾何學(xué)的人覺得有這樣的關(guān)系，物理學(xué)家說你這個(gè)關(guān)系跟物理有關(guān)系，這是非常困難的，并且有基本的重要性。比方說像去年獲諾貝爾獎(jiǎng)的，我想大家都知道崔琦的名字，做理論方面的所謂Hall效應(yīng)，也用到我們這些工作。我們說我們專搞曲率。你要開一個(gè)車，路如果彎得多了的話你就要慢下來，直的話你就沖，這就是曲率。曲率要是在高維就比較復(fù)雜了，不過也是一些代數(shù)，并且可以做得很巧妙。我的一個(gè)朋友，也是學(xué)生，叫Simons。我們所做的工作就是曲率，就對(duì)崔琦跟他們一群得諾貝爾獎(jiǎng)的有好處。所以一般講來，在房子里我們只管掃地，想把房子弄弄干凈，弄弄清楚，然后有偉大的物理學(xué)家來說你們這個(gè)還有道理（大笑，掌聲），這個(gè)我們也很高興�，F(xiàn)在幾何不僅應(yīng)用到物理，也應(yīng)用到生物學(xué)中。講到DNA的構(gòu)造，是一個(gè)雙螺線，雙螺線有很多幾何，許多幾何學(xué)都在研究這個(gè)問題�，F(xiàn)在許多主要的大學(xué)，念生物的人一定要念幾何�，F(xiàn)在有很多人研究大一點(diǎn)的compound，這是分子，是由原子配起來的。原子怎么個(gè)配法就是幾何了。這些幾何的觀念不再是空虛的，有實(shí)際上的化學(xué)的意義。
數(shù)學(xué)比其它科學(xué)有利的地方，是它基本上還是個(gè)人的工作。即使在僻遠(yuǎn)的地方，進(jìn)步也是可能的。當(dāng)然他需要幾個(gè)朋友，得切磋之益。謝謝大家。

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